《什么是數(shù)學(xué)》數(shù)學(xué)的概念 讀書筆記
《什么是數(shù)學(xué)》數(shù)學(xué)的概念 讀書筆記
數(shù)學(xué)，是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科，從某種角度看屬于形式科學(xué)的一種。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于數(shù)學(xué)的基本定義，希望可以幫到大家哦。
數(shù)學(xué)的基本定義
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)。分為初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)。它在科學(xué)發(fā)展和現(xiàn)代生活生產(chǎn)中的應(yīng)用非常廣泛，是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基本工具。
數(shù)學(xué)(漢語拼音：shù xué;希臘語：μαθηματικ;英語：Mathematics/Math)，源自于古希臘語的μθημα(máthēma)，其有學(xué)習(xí)、學(xué)問、科學(xué)之意，以及另外還有個(gè)較狹隘且技術(shù)性的意義——“數(shù)學(xué)研究”。即使在其語源內(nèi)，其形容詞意義和與學(xué)習(xí)有關(guān)的，亦會(huì)被用來指數(shù)學(xué)的。其在英語的復(fù)數(shù)形式，及在法語中的復(fù)數(shù)形式+es成mathématiques，可溯至拉丁文的中性復(fù)數(shù)(Mathematica)，由西塞羅譯自希臘文復(fù)數(shù) τα μαθηματικά(ta mathēmatiká)。在中國(guó)古代把數(shù)學(xué)叫算術(shù)，又稱算學(xué)，最后才改為數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)分為兩部分，一部分是幾何，另一部分是代數(shù)。[2]
數(shù)學(xué)是利用符號(hào)語言研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科。數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)倪壿嬐评砑皩?duì)完美境界的追求。雖然不同的傳統(tǒng)學(xué)派可以強(qiáng)調(diào)不同的側(cè)面，然而正是這些互相對(duì)立的力量的相互作用，以及它們綜合起來的努力，才構(gòu)成了數(shù)學(xué)科學(xué)的生命力、可用性和它的崇高價(jià)值。
對(duì)象
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的知識(shí)與運(yùn)用是個(gè)人與團(tuán)體生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達(dá)米亞及古印度內(nèi)的古代數(shù)學(xué)文本內(nèi)便可觀見。從那時(shí)開始，其發(fā)展便持續(xù)不斷地有小幅度的進(jìn)展，直至16世紀(jì)的文藝復(fù)興時(shí)期，因著和新科學(xué)發(fā)現(xiàn)相作用而生成的數(shù)學(xué)革新導(dǎo)致了知識(shí)的加速，至今。
數(shù)學(xué)被使用在世界不同的領(lǐng)域上，包括科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等。數(shù)學(xué)對(duì)這些領(lǐng)域的應(yīng)用通常被稱為應(yīng)用數(shù)學(xué)，有時(shí)亦會(huì)激起新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，并導(dǎo)致全新學(xué)科的發(fā)展。數(shù)學(xué)家也研究純數(shù)學(xué)，也就是數(shù)學(xué)本身，而不以任何實(shí)際應(yīng)用為目標(biāo)。雖然許多以純數(shù)學(xué)開始的研究，但之后會(huì)發(fā)現(xiàn)許多應(yīng)用。
創(chuàng)立于二十世紀(jì)三十年代的法國(guó)的布爾巴基學(xué)派認(rèn)為：數(shù)學(xué)，至少純數(shù)學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論。結(jié)構(gòu)，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng)。布學(xué)派認(rèn)為，有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)(群，環(huán)，域，格……)、序結(jié)構(gòu)(偏序，全序……)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(鄰域，極限，連通性，維數(shù)……)。[3]
領(lǐng)域
數(shù)學(xué)商業(yè)上計(jì)算的需要、了解數(shù)與數(shù)之間的體系、測(cè)量土地面積及預(yù)測(cè)天文觀念。這四種需要大致地與數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及變化(即算術(shù)、代數(shù)、幾何及分析)等數(shù)學(xué)上廣泛的領(lǐng)域相關(guān)連著。除了上述主要的關(guān)注之外，亦有用來探索由數(shù)學(xué)核心至其他領(lǐng)域上之間的連結(jié)的子領(lǐng)域：至邏輯、至集合論(基礎(chǔ))、至不同科學(xué)的經(jīng)驗(yàn)上的數(shù)學(xué)(應(yīng)用數(shù)學(xué))、及較近代的至不確定性的嚴(yán)格學(xué)習(xí)。
短語
[span]數(shù)學(xué)Mathematics;Maths;TEACMSES
[span]數(shù)學(xué)分析 [數(shù)] Mathematical Analysis;analysis;Math analysis; [數(shù)] Matematisk analyse
[span]數(shù)學(xué)規(guī)劃 [數(shù)] mathematical programming; [數(shù)] Mathematical Planning;mp; [數(shù)] mathematical Slave ogramming
數(shù)學(xué)的基本概念
圓周率
數(shù)量的學(xué)習(xí)起于數(shù)，一開始為熟悉的自然數(shù)及整數(shù)與被描述在算術(shù)內(nèi)的有理和無理數(shù)。
另一個(gè)研究的領(lǐng)域?yàn)槠浯笮?，這個(gè)導(dǎo)致了基數(shù)和之后對(duì)無限的另外一種概念：阿列夫數(shù)，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。
第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，得出精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的π值。數(shù)學(xué)家劉徽在注釋《九章算術(shù)》時(shí)用割圓術(shù)求得π的近似值。得出
∏
數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之通過艱苦的努力，他在世界數(shù)學(xué)史上第一次將圓周率(∏)值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位，即3.1415926到3.1415927之間。
π是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，也是一個(gè)無理數(shù)，是一個(gè)超越數(shù)。
結(jié)構(gòu)
許多如數(shù)及函數(shù)的集合等數(shù)學(xué)物件都有著內(nèi)含的結(jié)構(gòu)。這些物件的結(jié)構(gòu)性質(zhì)被探討于群、環(huán)、體及其他本身即為此物件的抽象系統(tǒng)中。此為抽象代數(shù)的領(lǐng)域。在此有一個(gè)很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，并研究于線性代數(shù)中。向量的研究結(jié)合了數(shù)學(xué)的三個(gè)基本領(lǐng)域：數(shù)量、結(jié)構(gòu)及空間。向量分析則將其擴(kuò)展至第四個(gè)基本的領(lǐng)域內(nèi)，即變化。
空間
空間的研究源自于幾何-尤其是歐式幾何。三角學(xué)則結(jié)合了空間及數(shù)，且包含有非常著名的勾股定理?，F(xiàn)今對(duì)空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何及拓?fù)鋵W(xué)。數(shù)和空間在解析幾何、微分幾何和代數(shù)幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計(jì)算等概念。在代數(shù)幾何中有著如多項(xiàng)式方程的解集等幾何物件的描述，結(jié)合了數(shù)和空間的概念;亦有著拓?fù)淙旱难芯浚Y(jié)合了結(jié)構(gòu)與空間。李群被用來研究空間、結(jié)構(gòu)及變化。
基礎(chǔ)
為了搞清楚數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)邏輯和集合論等領(lǐng)域被發(fā)展了出來。德國(guó)數(shù)學(xué)家康托(Georg Cantor，1845-1918)首創(chuàng)集合論，大膽地向“無窮大”進(jìn)軍，為的是給數(shù)學(xué)各分支提供一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而它本身的內(nèi)容也是相當(dāng)豐富的，提出了實(shí)無窮的存在，為以后的數(shù)學(xué)發(fā)展作出了不可估量的貢獻(xiàn)。康托的工作給數(shù)學(xué)發(fā)展帶來了一場(chǎng)革命。由于他的理論超越直觀，所以曾受到當(dāng)時(shí)一些大數(shù)學(xué)家的反對(duì)，龐加萊也把集合論比作有趣的“病理情形”，龐加萊還擊康托是“神經(jīng)質(zhì)”，“走進(jìn)了超越數(shù)的地獄”。對(duì)于這些非難和指責(zé)，康托仍充滿信心，他說：“我的理論猶如磐石一般堅(jiān)固，任何反對(duì)它的人都將搬起石頭砸自己的腳”。
集合論在20世紀(jì)初已逐漸滲透到了各個(gè)數(shù)學(xué)分支，成為了分析理論，測(cè)度論，拓?fù)鋵W(xué)及數(shù)理科學(xué)中必不可少的工具。20世紀(jì)初世界上最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特在德國(guó)傳播了康托的思想，把他稱為“數(shù)學(xué)家的樂園”和“數(shù)學(xué)思想最驚人的產(chǎn)物”。英國(guó)哲學(xué)家羅素把康托的工作譽(yù)為“這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”。
邏輯
數(shù)學(xué)邏輯專注在將數(shù)學(xué)置于一堅(jiān)固的公理架構(gòu)上，并研究此一架構(gòu)的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產(chǎn)地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果-總存在一不能被證明的真實(shí)定理?，F(xiàn)代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)有著密切的關(guān)聯(lián)性。
符號(hào)
在現(xiàn)代的符號(hào)中，簡(jiǎn)單的表示式可能描繪出復(fù)雜的概念。此一圖像即是由一簡(jiǎn)單方程所產(chǎn)生的。
我們現(xiàn)今所使用的大部分?jǐn)?shù)學(xué)符號(hào)都是到了16世紀(jì)后才被發(fā)明出來的。在此之前，數(shù)學(xué)被文字書寫出來，這是個(gè)會(huì)限制住數(shù)學(xué)發(fā)展的刻苦程序。現(xiàn)今的符號(hào)使得數(shù)學(xué)對(duì)于專家而言更容易去控作，但初學(xué)者卻常對(duì)此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號(hào)包含著大量的訊息。如同音樂符號(hào)一般，現(xiàn)今的數(shù)學(xué)符號(hào)有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。
嚴(yán)謹(jǐn)
數(shù)學(xué)語言亦對(duì)初學(xué)者而言感到困難。如何使這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學(xué)者，如開放和域等字在數(shù)學(xué)里有著特別的意思。數(shù)學(xué)術(shù)語亦包括如同胚及可積性等專有名詞。但使用這些特別符號(hào)和專有術(shù)語是有其原因的：數(shù)學(xué)需要比日常用語更多的精確性。數(shù)學(xué)家將此對(duì)語言及邏輯精確性的要求稱為“嚴(yán)謹(jǐn)”。
嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)證明中很重要且基本的一部分。數(shù)學(xué)家希望他們的定理以系統(tǒng)化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免錯(cuò)誤的“定理”，依著不可靠的直觀，而這情形在歷史上曾出現(xiàn)過許多的例子。在數(shù)學(xué)中被期許的嚴(yán)謹(jǐn)程度因著時(shí)間而不同：希臘人期許著仔細(xì)的論點(diǎn)，但在牛頓的時(shí)代，所使用的方法則較不嚴(yán)謹(jǐn)。牛頓為了解決問題所做的定義到了十九世紀(jì)才重新以小心的分析及正式的證明來處理?，F(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們則持續(xù)地在爭(zhēng)論電腦輔助證明的嚴(yán)謹(jǐn)度。當(dāng)大量的計(jì)量難以被驗(yàn)證時(shí)，其證明亦很難說是有效地嚴(yán)謹(jǐn)。因?yàn)闀r(shí)代的差別、也抹去了不少知識(shí)、但是數(shù)學(xué)永不磨滅、永遠(yuǎn)流傳智慧。
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