淺談數學與哲學關系的論文示例(3)
淺談數學與哲學關系的論文示例
數學與哲學的論文篇四
哲學與高等數學在教學上的相互滲透
摘要： 文章分析了高等數學中所蘊涵的哲學思想，并指出在教學中兩者應相互滲透，此舉能培養(yǎng)學生辯證的邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力，從而不斷提高學生的科學素質。
Abstract： This paper analyzes the implication of the philosophic thinking in advanced mathematics， and the two should be infiltrated in teaching. In doing so， it will be able to train students dialectical logical thinking ability to analyze problems and problem-solving skills， so as to continuously improve the students' scientific quality.
關鍵詞： 哲學;高等數學;教學方法
Key words： philosophy;advanced mathematics;teaching method
中圖分類號：G642.4 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311(2013)19-0250-02
0 引言
哲學是自然知識、社會知識、思維知識的概括和總結，是世界觀和方法論的統(tǒng)一[1]。愛因斯坦說：“如果把哲學理解為在最普遍和最廣泛的形式中對知識的追求，那么，哲學顯然就可以被認為是全部科學之母。”
數學是利用符號語言研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科，是各門科學的基礎和工具。
“沒有哲學，難以得知數學的深度，沒有數學，也難以探知哲學的深度。”數學家波爾達斯的話說明了數學與哲學是相互依存的。數學一直以來都是哲學家們的重要案例，而哲學也是數學家們熱衷研究的對象。在古希臘和17世紀的歐洲，兼具數學家和哲學家頭銜的人比比皆是，如畢達哥拉斯、亞里士多德、伽利略、笛卡爾、牛頓、萊布尼茲等[2]。實際上，二者“都屬于為理解我們周圍世界所做的最初的理智上的嘗試”[3]。
哲學研究世界本質的共性，數學研究特殊規(guī)律的個性。數學需要哲學的指引，需要哲學為其提供研究方向和探索工具。數學史上的三次危機的出現(xiàn)和解決，都離不開哲學思辨。同時數學的文化精髓和積極成果又反過來影響著哲學觀點，豐富和發(fā)展哲學本身的形式和內涵。
恩格斯說：“微積分進入了數學，辯證法就進入了數學。”高等數學作為哲學在自然科學領域中的具體體現(xiàn)，處處蘊含著哲學思想。
1 數學中蘊含的哲學思想
1.1 對立統(tǒng)一規(guī)律 對立統(tǒng)一規(guī)律是唯物辯證法的實質和核心，它揭示出任何事物以及事物之間都包含著矛盾性，事物矛盾雙方又統(tǒng)一又斗爭推動事物的運動、變化和發(fā)展。高等數學中有很多對立的概念，體現(xiàn)出這一規(guī)律，下面用幾對重要的哲學范疇舉例說明：
?、僬w與局部。整體與局部相互依賴，互為存在和發(fā)展的前提。作為微積分的三大基本公式，牛頓-萊布尼茲公式、格林公式和高斯公式都將內部計算轉化為邊界計算，都刻畫了函數在某種幾何形體上的總體性質和在邊界上的局部性質之間的關系。
?、诠残耘c個性。共性指不同事物的普遍性質，個性指一事物區(qū)別于他事物的特殊性質。雖然研究微積分的數學家很多，但之所以他們沒有成為微積分的創(chuàng)始人，是因為他們研究的都是個例形態(tài)，而牛頓和萊布尼茲則超越他們，透過現(xiàn)象看到本質，從眾多個例中提煉出共性的東西——無窮小分析，并將其提升，確立為數學理論。
?、圻\動與靜止。運動是物質的存在形式和固有屬性，相對靜止是事物存在和發(fā)展的必要條件。極限概念的發(fā)展史便是這一對矛盾的最好詮釋。最開始，極限是通過“無限增大”、“想多小就多小”這種描述性的定義給出的，而這種不嚴密的敘述無法用于證明，直接動搖了微積分的根基。直到ε-N語言的出現(xiàn)，它用靜態(tài)觀點刻畫了運動趨勢，完美的將二者融為一體。[4]
?、芫唧w與抽象。這是人類認識事物過程的兩個階段。如為了求解瞬時速度和切線問題，我們抽象出了導數的定義。然后我們又可以在現(xiàn)實世界中廣泛的應用它：求電流強度、角速度、線密度、邊際成本等。很多數學概念的形成都是源于客觀實際的需要，之后又服務于生活：從具體到抽象，再由抽象到具體。
?、菹鄬εc絕對。通過相對才能體現(xiàn)絕對，絕對不能離開相對而獨立存在。如對于二元函數，存在兩個絕對的自變量，但當求偏導數時，卻需要相對的將其中一個看作常量;同樣，求二重積分時，需要先將一個自變量看作常量，然后再視其為變量。這個例子很好的體現(xiàn)了相對與絕對的辯證關系。
?、抻邢夼c無限。這是世界固有的矛盾之一。比如若我們要求無窮級數的和，需要先求出前有限項的和，然后借助于極限將其推廣到無限項之和，這恰恰說明無窮級數是有限和無限的統(tǒng)一：有限構成了無限、無限不能脫離有限而獨立存在，有限包含著無限，有限體現(xiàn)著無限。
1.2 質量互變規(guī)律 它是在事物量與質、量變與質變的辯證關系中揭示事物發(fā)展的形式、狀態(tài)的唯物辯證法的基本規(guī)律。
高等數學中也處處能體現(xiàn)出這一規(guī)律。比如，在取極限的過程中，當時間趨于零時，平均速度變成了瞬時速度;當動點無限接近于定點時，割線的斜率變成了切線的斜率;當邊數無限增大時，圓內接正多邊形的面積變成了圓的面積;當分割無限細時，小平頂柱體的體積之和變成了曲頂柱體的體積。這些例子無不說明事物的發(fā)展總是先從量變開始，量變達到臨界點超出了度，就導致質變。
1.3 肯定否定規(guī)律 也稱為否定之否定規(guī)律，揭示了事物內部肯定和否定矛盾的對立統(tǒng)一，即事物由肯定達到對自身的否定，進而再由否定到否定之否定，從而顯示出事物在曲折前進和螺旋式上升的辯證過程。在引入定積分時，我們計算了曲邊梯形的面積：先將其分割成很多個小曲邊梯形，把它們近似看成矩形，然后將所有小矩形面積求和，當小矩形個數趨于無限大時，就可以將其視為梯形的面積。這種“化整為零，積零為整”、“以直代曲、由曲到直”的思想恰是否定之否定規(guī)律的絕妙體現(xiàn)。 1.4 普遍聯(lián)系原理 普遍聯(lián)系的觀點，是唯物辯證法的本質特征之一。它指出：任何事物內部的各個部分、要素是相互聯(lián)系的;任何事物都與周圍的其他事物相互聯(lián)系著。
如高等數學中共有七種形式的積分：一元積分、二重積分、三重積分、兩類曲線積分、兩類曲面積分。這些積分通過定義、兩類曲線、面積分之間的聯(lián)系及多元微積分的三大公式呈現(xiàn)出錯綜復雜的關系，相互之間可以轉化。由于所有的積分都是通過“分割、近似求和、取極限”的思想來定義的，所以它們實際上并沒有分家，而是一個結構精妙的統(tǒng)一體系。再如微分中值定理作為研究函數的有力工具，也是相互聯(lián)系的。其中拉格朗日定理是羅爾定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形?？梢娫趯W習數學時，我們也應堅持聯(lián)系的觀點，用普遍聯(lián)系的觀點看問題。
1.5 主要矛盾和次要矛盾相互關系原理 唯物辯證法認為，矛盾有主次之分，主要矛盾和次要矛盾相互依賴、相互影響，并在一定條件下相互轉化。這就要求我們在觀察和處理事物時，要抓住主要矛盾，從而掌握工作的中心環(huán)節(jié)。
如在求解二重積分時，有些題目用直角坐標計算，但按照已有次序是解不出的，必須要交換積分次序才行;而有些題目無論怎樣交換積分次序都做不出，因為它用直角坐標的方法是無解的，但如果轉化成極坐標來計算，問題就會迎刃而解[5]。
2 哲學與高等數學在教學上的相互滲透
哈佛大學有一個著名的口號：“一流的工科要有一流的理科，一流的理科要有一流的數學，一流的數學要有一流的文科，一流的文科要有一流的哲學!”可見在世界頂級的高等教育學府中，學科間的相互融合、相互促進、相互提升已被擺在很重要的位置上。
我們也可以在教學上做些學科交叉融合的嘗試，同世界先進的教育理念接軌。
2.1 在哲學教學中滲透數學的思想 ①哲學教學現(xiàn)狀。在我國科技飛速發(fā)展、經濟日益騰飛的今天，實用價值觀和功利主義的知識觀正在影響著當代大學生。大家在學一門知識前先要問“學了有什么用”?由于哲學不像其他的自然科學和現(xiàn)代技術，能夠讓人在短時間內學到某一個領域的專業(yè)技能，所以很多學生都是采用背誦概念、臨陣磨槍的方式來對待這種“既務虛又不實用”的課。而且，教科書體系化的理論哲學給人更多的印象是晦澀抽象。如果教師僅就哲學論哲學，難免會窒息了哲學的靈性，進而扼殺了學生的求知欲，禁錮了他們心靈的思考。②滲透數學思想。實際上，哲學教育應多多關注于對現(xiàn)實的關照，否則，高深的理論體系就沒有存在的意義。如果教師在教學中能夠結合高等數學中所蘊含的種種哲學思想進行列舉，一定會獲得良好的教學效果，因為：第一，這樣給學生以新鮮感、驚艷感，將那些患有“人文逃避癥”的理工科學生重新拉回課堂;第二，讓學生切身感受到，哲學作為世界觀和方法論，的確有它的意義和價值，糾正它留給大家的深奧難懂的錯誤印象。事實上，哲學作為人文學科不但同自然科學不矛盾，反而兩者是緊密相連的;第三，讓學生在對具體問題的探討和分析中學會如何進行哲學式思考，如何使用哲學思維的方法。這才是我們教書育人的最終目的。
當然，還應該告訴學生，哲學從功利的角度上雖然不能提供即學即用的價值，但“它能夠給人們提供一種終極精神關懷和精神目標，并在這種關懷中來培養(yǎng)人們的一種超越性的思維方式和生活境界。” [6]
2.2 在數學教學中滲透哲學的思想 ①高等數學教學現(xiàn)狀。學習高等數學的都是剛入學的大一新生，初等數學與高等數學之間的巨大差別讓他們不適應，再加上高等數學嚴密的邏輯性、高度的抽象性使這門課更顯得枯燥無趣。久而久之，大部分學生逐漸喪失了學習的動力、熱情和目標。②滲透哲學思想。要想提高高等數學的教學效果，可以運用多種教學方法和手段，其中在課堂中充分解析和體現(xiàn)哲學思想無疑是最為精彩的一項，因為：第一，這樣能使充滿邏輯與理性的課堂兼具人文情懷，讓有“數學焦慮癥”的學生感受到遠離科學的親切，進而引起他們的共鳴，于無形之中減輕他們對數學的焦慮;第二，改變傳統(tǒng)沉悶的課堂氣氛，代以輕松愉快的氛圍;第三，一些在數學范圍內難以被學生理解的問題若換成哲學角度來解釋，反而能起到意想不到的一點就透的效果[7];第四，讓學生學會從多個角度、不同視角考慮問題;第五，當一個數學上的具體問題背后的哲學思想呈現(xiàn)出來時，學生就已經站在比原來更高的一個層次上，對問題的認識自然也就上升了一個層面。這種高屋建瓴的對問題的洞悉力和理解力所體現(xiàn)出的學生的科學素質，也正是我們孜孜以求的教育的目標。
參考文獻：
[1]王翠英.馬克思主義哲學原理[M].蘭州：蘭州大學出版社，2006：14-16.
[2]陶有德，王霞，路振國.哲學思想在高等數學中的體現(xiàn)及應用[J].高師理科學刊，2011，31(5)： 87-90.
[3]斯圖爾特·夏皮羅.數學哲學：對數學的思考[M].上海：復旦大學出版社， 2009： 64-65.
[4]朱勻華. 數學分析的思想方法[M].廣州：中山大學出版社， 2001： 6-14.
[5]王淑萍.哲學觀點在高等數學中的應用[J].江蘇教育學院學報：自然科學版，2006，23(4)：63-64.
[6]王翠英.馬克思主義哲學原理[M].蘭州：蘭州大學出版社，2006：19-20.
[7]同濟大學數學系.高等數學第六版[M].北京：高等教育出版社，2007：137-157.
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