高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目（四套ABCD）

　　當(dāng)我第一遍讀一本好書的時候，我仿佛覺得找到了一個朋友;當(dāng)我再一次讀這本書的時候，仿佛又和老朋友重逢。我們要把讀書當(dāng)作一種樂趣，并自覺把讀書和學(xué)習(xí)結(jié)合起來，做到博覽、精思、熟讀，更好地指導(dǎo)自己的學(xué)習(xí)，讓自己不斷成長。讓我們一起到學(xué)習(xí)啦一起學(xué)習(xí)吧!

　　2017年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目

　　A題 CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定及成像

　　CT(Computed Tomography)可以在不破壞樣品的情況下，利用樣品對射線能量的吸收特性對生物組織和工程材料的樣品進(jìn)行斷層成像，由此獲取樣品內(nèi)部的結(jié)構(gòu)信息。一種典型的二維CT系統(tǒng)如圖1所示，平行入射的X射線垂直于探測器平面，每個探測器單元看成一個接收點，且等距排列。X射線的發(fā)射器和探測器相對位置固定不變，整個發(fā)射-接收系統(tǒng)繞某固定的旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)180次。對每一個X射線方向，在具有512個等距單元的探測器上測量經(jīng)位置固定不動的二維待檢測介質(zhì)吸收衰減后的射線能量，并經(jīng)過增益等處理后得到180組接收信息。

　　CT系統(tǒng)安裝時往往存在誤差，從而影響成像質(zhì)量，因此需要對安裝好的CT系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定，即借助于已知結(jié)構(gòu)的樣品(稱為模板)標(biāo)定CT系統(tǒng)的參數(shù)，并據(jù)此對未知結(jié)構(gòu)的樣品進(jìn)行成像。

　　請建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和算法，解決以下問題：

　　(1) 在正方形托盤上放置兩個均勻固體介質(zhì)組成的標(biāo)定模板，模板的幾何信息如圖2所示，相應(yīng)的數(shù)據(jù)文件見附件1，其中每一點的數(shù)值反映了該點的吸收強(qiáng)度，這里稱為“吸收率”。對應(yīng)于該模板的接收信息見附件2。請根據(jù)這一模板及其接收信息，確定CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中的位置、探測器單元之間的距離以及該CT系統(tǒng)使用的X射線的180個方向。

　　(2) 附件3是利用上述CT系統(tǒng)得到的某未知介質(zhì)的接收信息。利用(1)中得到的標(biāo)定參數(shù)，確定該未知介質(zhì)在正方形托盤中的位置、幾何形狀和吸收率等信息。另外，請具體給出圖3所給的10個位置處的吸收率，相應(yīng)的數(shù)據(jù)文件見附件4。

　　(3) 附件5是利用上述CT系統(tǒng)得到的另一個未知介質(zhì)的接收信息。利用(1)中得到的標(biāo)定參數(shù)，給出該未知介質(zhì)的相關(guān)信息。另外，請具體給出圖3所給的10個位置處的吸收率。

　　(4) 分析(1)中參數(shù)標(biāo)定的精度和穩(wěn)定性。在此基礎(chǔ)上自行設(shè)計新模板、建立對應(yīng)的標(biāo)定模型，以改進(jìn)標(biāo)定精度和穩(wěn)定性，并說明理由。

　　(1)-(4)中的所有數(shù)值結(jié)果均保留4位小數(shù)。同時提供(2)和(3)重建得到的介質(zhì)吸收率的數(shù)據(jù)文件(大小為256×256，格式同附件1，文件名分別為problem2.xls和problem3.xls)

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　　B題 “拍照賺錢”的任務(wù)定價

　　“拍照賺錢”是移動互聯(lián)網(wǎng)下的一種自助式服務(wù)模式。用戶下載APP，注冊成為APP的會員，然后從APP上領(lǐng)取需要拍照的任務(wù)(比如上超市去檢查某種商品的上架情況)，賺取APP對任務(wù)所標(biāo)定的酬金。這種基于移動互聯(lián)網(wǎng)的自助式勞務(wù)眾包平臺，為企業(yè)提供各種商業(yè)檢查和信息搜集，相比傳統(tǒng)的市場調(diào)查方式可以大大節(jié)省調(diào)查成本，而且有效地保證了調(diào)查數(shù)據(jù)真實性，縮短了調(diào)查的周期。因此APP成為該平臺運行的核心，而APP中的任務(wù)定價又是其核心要素。如果定價不合理，有的任務(wù)就會無人問津，而導(dǎo)致商品檢查的失敗。

　　附件一是一個已結(jié)束項目的任務(wù)數(shù)據(jù)，包含了每個任務(wù)的位置、定價和完成情況(“1”表示完成，“0”表示未完成);附件二是會員信息數(shù)據(jù)，包含了會員的位置、信譽(yù)值、參考其信譽(yù)給出的任務(wù)開始預(yù)訂時間和預(yù)訂限額，原則上會員信譽(yù)越高，越優(yōu)先開始挑選任務(wù)，其配額也就越大(任務(wù)分配時實際上是根據(jù)預(yù)訂限額所占比例進(jìn)行配發(fā));附件三是一個新的檢查項目任務(wù)數(shù)據(jù)，只有任務(wù)的位置信息。請完成下面的問題：

　　1.研究附件一中項目的任務(wù)定價規(guī)律，分析任務(wù)未完成的原因。

　　2.為附件一中的項目設(shè)計新的任務(wù)定價方案，并和原方案進(jìn)行比較。

　　3.實際情況下，多個任務(wù)可能因為位置比較集中，導(dǎo)致用戶會爭相選擇，一種考慮是將這些任務(wù)聯(lián)合在一起打包發(fā)布。在這種考慮下，如何修改前面的定價模型，對最終的任務(wù)完成情況又有什么影響?

　　4.對附件三中的新項目給出你的任務(wù)定價方案，并評價該方案的實施效果。

　　附件一：已結(jié)束項目任務(wù)數(shù)據(jù)

　　附件二：會員信息數(shù)據(jù)

　　附件三：新項目任務(wù)數(shù)據(jù)

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　　C題 顏色與物質(zhì)濃度辨識

　　比色法是目前常用的一種檢測物質(zhì)濃度的方法，即把待測物質(zhì)制備成溶液后滴在特定的白色試紙表面，等其充分反應(yīng)以后獲得一張有顏色的試紙，再把該顏色試紙與一個標(biāo)準(zhǔn)比色卡進(jìn)行對比，就可以確定待測物質(zhì)的濃度檔位了。由于每個人對顏色的敏感差異和觀測誤差，使得這一方法在精度上受到很大影響。隨著照相技術(shù)和顏色分辨率的提高，希望建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)量關(guān)系，即只要輸入照片中的顏色讀數(shù)就能夠獲得待測物質(zhì)的濃度。試根據(jù)附件所提供的有關(guān)顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度數(shù)據(jù)完成下列問題：

　　1.附件Data1.xls中分別給出了5種物質(zhì)在不同濃度下的顏色讀數(shù)，討論從這5組數(shù)據(jù)中能否確定顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的關(guān)系，并給出一些準(zhǔn)則來評價這5組數(shù)據(jù)的優(yōu)劣。

　　2.對附件Data2.xls中的數(shù)據(jù)，建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)學(xué)模型，并給出模型的誤差分析。

　　探討數(shù)據(jù)量和顏色維度對模型的影響。

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　　D題 巡檢線路的排班

　　某化工廠有26個點需要進(jìn)行巡檢以保證正常生產(chǎn)，各個點的巡檢周期、巡檢耗時、兩點之間的連通關(guān)系及行走所需時間在附件中給出。

　　每個點每次巡檢需要一名工人，巡檢工人的巡檢起始地點在巡檢調(diào)度中心(XJ0022)，工人可以按固定時間上班，也可以錯時上班，在調(diào)度中心得到巡檢任務(wù)后開始巡檢?，F(xiàn)需要建立模型來安排巡檢人數(shù)和巡檢路線，使得所有點都能按要求完成巡檢，并且耗費的人力資源盡可能少，同時還應(yīng)考慮每名工人在一時間段內(nèi)(如一周或一月等)的工作量盡量平衡。

　　問題1. 如果采用固定上班時間，不考慮巡檢人員的休息時間，采用每天三班倒，每班工作8小時左右，每班需要多少人，巡檢線路如何安排，并給出巡檢人員的巡檢線路和巡檢的時間表。

　　問題2. 如果巡檢人員每巡檢2小時左右需要休息一次，休息時間大約是5到10分鐘，在中午12時和下午6時左右需要進(jìn)餐一次，每次進(jìn)餐時間為30分鐘，仍采用每天三班倒，每班需要多少人，巡檢線路如何安排，并給出巡檢人員的巡檢線路和巡檢的時間表。

　　問題3. 如果采用錯時上班，重新討論問題1和問題2，試分析錯時上班是否更節(jié)省人力。