高三數(shù)學(xué)理科第一學(xué)期期中試題
要想學(xué)好數(shù)學(xué)，多做題目是難免的，熟悉掌握各種題型的解題思路，今天小編就給大家分享一下高三數(shù)學(xué)，喜歡的來閱讀哦
理科高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題
第I卷 共60分
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合 ， ，則 ( ) B
A. B. C. D.
2.已知 ，則復(fù)數(shù) ( )A
A. B. C. D.
3.下列四個(gè)結(jié)論, 其中正確的是( )A
?、倜}“ ”的否定是“ ”;
②若 是真命題，則 可能是真命題;7③“ 且 ”是“ ”的充要條件; ④當(dāng) 時(shí)，冪函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減.
A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④
4.設(shè) ，則不等式 的解集為( C )
A.
B.
C.
D.
5.若 的圖象向右平移 個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 可以是(B )
A.
B.
C.
D.
6. 中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何?此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主人應(yīng)償還 升， 升， 升，1斗為10升;則下列判斷正確的是( D )
A. 依次成公比為2的等比數(shù)列，且
B. 依次成公比為2的等比數(shù)列，且
C. 依次成公比為 的等比數(shù)列，且
D. 依次成公比為 的等比數(shù)列，且
7.已知 ，則 ( )
A. B. C. D.
8.如圖所示，正弦曲線 ，余弦函數(shù) 與兩直線 ， 所圍成的陰影部分的面積為( )
A. B. C. D.
9.函數(shù) 的大致圖象是 ( A )
A B C D
10. 設(shè) ， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則 ， ， 的大小關(guān)系為( B )
A. B. C. D.
11.設(shè)函數(shù) ，函數(shù) ，若對(duì)任意的 ，總存在 ，使得 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( D )
A. B. C. D.
12.已知數(shù)列 滿足 .設(shè) ， 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和.若 (常數(shù))， ，則 的最小值是( C )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知向量 ， ，若 與 垂直，則實(shí)數(shù) .13.
14.已知命題 ;命題 是增函數(shù).若“ ”為假命題且“ ”為真命題，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 . 14.
15. 如圖，在 中，若 ， ， ，則 的值為 .15.-2
16. 在 中，內(nèi)角 、 、 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 、 、 ，且 ， ，若 ，則 __________.16.3
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17. (本小題滿分10分)已知函數(shù) .
(1)求 及 的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求 在閉區(qū)間 的最值.
17(1)f(x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ ),則f( )= ,
2x + ，k
單調(diào)遞增區(qū)間[- +k , + k ],k .
(2)由 則2x+ ，sin(2x+ ) [- ,1],所以值域?yàn)?[- ,1],
18.設(shè) 為各項(xiàng)不相等的等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和，已知 .
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) 為數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，求 .
18.解：(1)設(shè)數(shù)列 的公差為d，則由題意知 解得 (舍去)或 所以 .(5分)
(2)因?yàn)?= ，
所以 = + +…+ = .(10分)
19.(本小題滿分12分)
在△ 中， ， 2 ， .
(1)求 的值;
(2)設(shè) 的中點(diǎn)為 ,求中線 的長(zhǎng).
19.解：(1)因?yàn)?，且C是三角形的內(nèi)角，所以sinC= = .
所以
= .(4分)
(2) 在△ABC中，由正弦定理，得 ，所以 = ，于是CD= .在△ADC中，AC=2 ，
cosC= ，(8分)
所以由余弦定理，得AD= = ，即中線AD的長(zhǎng)為 .(12分)
20、已知數(shù)列 的首項(xiàng) ，其前 項(xiàng)和為 ，且對(duì)任意正整數(shù) ，有 成等差數(shù)列.
(1)求證：數(shù)列 成等比數(shù)列;
(2)設(shè) ，求數(shù)列 前 項(xiàng)和 .
11、解：(1)∵ 成等差數(shù)列，∴
又
∴
即
∴
∴
又∵
∴ 成等比數(shù)列.
(2)由(1)知 是以 為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.
∴
又 ∴
∴
21.(本小題滿分12分) 已知函數(shù) ( 為常數(shù)).
(Ⅰ)討論函數(shù) 的單調(diào)性;
(Ⅱ)是否存在正實(shí)數(shù) ，使得對(duì)任意 ，都有，若存在，求出實(shí)數(shù) 的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說明理由;
21.(本小題滿分12分) 【解析】
(Ⅰ)∵ ( 為常數(shù))定義域?yàn)椋?.
(ⅰ)若 ，則 恒成立 在 上單調(diào)遞增;
(ⅱ)若 ，則 .
令 ，解得 ;令 ，解得 .
在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.
綜上：當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增;
當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.
(Ⅱ)滿足條件的 不存在.理由如下：
若 ，由(Ⅰ)可知，函數(shù) 在 為增函數(shù);
不妨設(shè) ，則 ，即 ;
∴由題意： 在 上單調(diào)遞減，
∴ 在 上恒成立;即 對(duì) 恒成立;
又 在 上單調(diào)遞減;∴ ;故滿足條件的正實(shí)數(shù) 不存在.
22.(12分)已知函數(shù)f(x)=xex-2e.
(1)求曲線y=f(x)在x=0處的切線方程;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=-1x-ln xx+m(m∈R)，試討論函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在(0，+∞)上交點(diǎn)的個(gè)數(shù).
21解：(1)由題意知，f′(x)=1-xex，
∴f′(0)=1，又f(0)=-2e，
故所求切線方程為y+2e=x，即x-y-2e=0.
(2)令h(x)=f(x)-g(x)=xex-2e+1x+ln xx-m(x>0)，
則h′(x)=1-xex-1x2+1-ln xx2=1-xex-ln xx2.
易知h′(1)=0，
∴當(dāng)0
∴函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減，
∴h(x)max=h(1)=-1e+1-m.
?、佼?dāng)-1e+1-m=0，即m=1-1e時(shí)，函數(shù)h(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在(0，+∞)上只有1個(gè)交點(diǎn);
?、诋?dāng)-1e+1-m<0，即m>1-1e時(shí)，函數(shù)h(x)沒有零點(diǎn)，
即函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在(0，+∞)上沒有交點(diǎn);
③當(dāng)-1e+1-m>0，即m<1-1e時(shí)，函數(shù)h(x)有2個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在(0，+∞)上有2個(gè)交點(diǎn).
理數(shù)試題答案
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。
1.B 2.A 3.A 4.C 5.B 6. D 7.A 8.D 9.D 10. B 11.D 12.C
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13. 14. 15.-2 16.3
三、解答題：共70分。
17. (1)f(x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ ),則f( )= ,
2x + ，k
單調(diào)遞增區(qū)間[- +k , + k ],k .
(2)由 則2x+ ，sin(2x+ ) [- ,1],所以值域?yàn)?[- ,1],
18.解：(1)設(shè)數(shù)列 的公差為d，則由題意知 解得 (舍去)或 所以 .(5分)
(3)因?yàn)?= ，
所以 = + +…+ = .(10分)
19.解：(1)因?yàn)?，且C是三角形的內(nèi)角，所以sinC= = .
所以
= .(4分)
(3) 在△ABC中，由正弦定理，得 ，所以 = ，于是CD= .在△ADC中，AC=2 ，
cosC= ，(8分)
所以由余弦定理，得AD= = ，即中線AD的長(zhǎng)為 .(12分)
20、解：(1)∵ 成等差數(shù)列，∴
又
∴
即
∴
∴
又∵
∴ 成等比數(shù)列.
(2)由(1)知 是以 為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.
∴
又 ∴
∴
21.(本小題滿分12分) 【解析】
(Ⅰ)∵ ( 為常數(shù))定義域?yàn)椋?.
(ⅰ)若 ，則 恒成立 在 上單調(diào)遞增;
(ⅱ)若 ，則 .
令 ，解得 ;令 ，解得 .
在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.
綜上：當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增;
當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.
(Ⅱ)滿足條件的 不存在.理由如下：
若 ，由(Ⅰ)可知，函數(shù) 在 為增函數(shù);
不妨設(shè) ，則 ，即 ;
∴由題意： 在 上單調(diào)遞減，
∴ 在 上恒成立;即 對(duì) 恒成立;
又 在 上單調(diào)遞減;∴ ;故滿足條件的正實(shí)數(shù) 不存在.
22解：(1)由題意知，f′(x)=1-xex，
∴f′(0)=1，又f(0)=-2e，
故所求切線方程為y+2e=x，即x-y-2e=0.
(2)令h(x)=f(x)-g(x)=xex-2e+1x+ln xx-m(x>0)，
則h′(x)=1-xex-1x2+1-ln xx2=1-xex-ln xx2.
易知h′(1)=0，
∴當(dāng)0
∴函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減，
∴h(x)max=h(1)=-1e+1-m.
①當(dāng)-1e+1-m=0，即m=1-1e時(shí)，函數(shù)h(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在(0，+∞)上只有1個(gè)交點(diǎn);
?、诋?dāng)-1e+1-m<0，即m>1-1e時(shí)，函數(shù)h(x)沒有零點(diǎn)，
即函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在(0，+∞)上沒有交點(diǎn);
?、郛?dāng)-1e+1-m>0，即m<1-1e時(shí)，函數(shù)h(x)有2個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在(0，+∞)上有2個(gè)交點(diǎn).
關(guān)于高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷理科
第Ⅰ卷 選擇題(共60分)
選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1. 設(shè)集合 ，集合 ，則 ( )
A. B. C. D.
2.下列有關(guān)命題的說法中錯(cuò)誤的是( )
A.若pVq為真命題，則p，q中至少有一個(gè)為真命題
B.命題：“若y=f(x)是冪函數(shù)，則y=f(x)的圖象不經(jīng)過第四象限”的否命題是假命題
C.命題“ n∈N*，有f(n) ∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“ n0∈N*，有f(n0)∈N *且f(n0)>n0”
D.設(shè)a，b∈R，則“a>b”是“a|a| >b|b|”的充要條件
3. 若函數(shù) 為奇函數(shù)，則 的極大值點(diǎn)為( )
A. B. C. D.
4.在 中，已知 于 ，則 長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
5.已知向量 ， 滿足 且 ，若向量 在向量 方向上的投影為 ，則 ( ) A. B. C. D.
6. 平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于 軸對(duì)稱，若 ，則 ( )
A. B. C. D.
7. 已知 ，若不等式 恒成立，則 的最大值等于 ( )
A.10 B.9 C.8 D.7
8.若雙曲線 ( )的一條漸近線被圓 所截得的弦長(zhǎng)為 ,則C的離心率為( )
A.2 B. C. D.
9. 如圖所示的三視圖表示的幾何體的體積為 ，則該幾何體的外接球的表面積為( )
A.12π B.24π C.36π D.48π
10.
11.設(shè)變量 滿足約束條件 的取值范圍是( )
A.[2，8] B.[4，8] C.[0，8] D.[8，+∞)
12.偶函數(shù) 是定義在R是的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為 ，且 對(duì)任意的 恒有 成立，則關(guān)于 的不等式 的解集為( )
A. ( B. C. (2，+ D.
卷II(非選擇題)
二、填空題(共4小題 ，每小題 5 分 ，共20分 )
13. 由 和 圍成的封閉圖形面積為______.
14.已知曲線 在點(diǎn) 處的切線的傾斜角為 ，則 =
15.已知數(shù)列{an}滿足an+1=≤an<1，(1)若 ，則 =________.
16.在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方形DCC1D1面內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APD=∠MPC，則三棱錐P-BCD的體積最大值是___________.
三、解答題(共 6 小題 ，17題10 分 ，18題-22題每題12分，共 60 分 )
17.已知數(shù)列 為等比數(shù)列， ， 是 和 的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
18.已知f(x)=Asin(ωx+ϕ)( )過點(diǎn) ，且當(dāng) 時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值1.
(1)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移 個(gè)單位得到函數(shù)g(x)，求函數(shù)g(x)的表達(dá)式;
(2)在(1)的條件下，函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)+2cos2x-1，求h(x)在 上的值域.
19.已知函數(shù) 為奇函數(shù).
(1)判斷f(x)的單調(diào)性并證明;
(2)解不等式 .
20.如圖，三棱柱 中， ， ， .
(1)求證： ;
(2)若平面 平面 ，且 ，求二面角 的正弦值。
21.已知拋物線方程為 ，點(diǎn)A、B及點(diǎn)P(2，4)都在拋物線上，直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)。
(1)試證明直線AB的斜率為定值;
(2)當(dāng)直線AB的縱截距為m(m>0)時(shí)，求△PAB的面積的最大值。
22. 已知函數(shù)f(x)=1n(x-1)-k(x-1)+1
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)證明： 。
高三理科數(shù)學(xué)期中檢測(cè)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一.選擇題
1.B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.B 8.D 9.C 10.C 11.C 12.B
二.填空題
13. 14. 15. 16.
17.解：(1)設(shè)數(shù)列 的公比為 ，
因?yàn)?，所以 ， .…………………………………………1分
因?yàn)?是 和 的等差中項(xiàng)，所以 .……………………2分
即 ，化簡(jiǎn)得 .
因?yàn)楣?，所以 .………………………………………………………4分
所以 ( ).…………………………………………5分
(2)因?yàn)?，所以 .………………………………………6分
所以 ………………………8分
則 ……10分
18. 解：(1)由題意可得A=1，由函數(shù)過 ，得 范圍 ， ……2分
由 ，
∵0<ω<4，∴可得：ω=2， ……4分
可得： ， ，故 …………6分
(2)
由于 ……10分故： h(x)在 上的值域?yàn)閇-1，2].…………12分
19.解：(1)由已知f(-x)=-f(x)，∴
∴ ，a=-2， ……………………3分
∵ ，∴ 為單調(diào)遞增函數(shù).…………6分
(2)∵ ，
∴ ，而f(x)為奇函數(shù)，
∴ ………………7分
∵f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，∴ ，………………8分
∴ ，∴-3≤log2x≤1， ………………10分
20.解：(1)如圖 ，設(shè) 中點(diǎn)為 ，連接 ，又設(shè) ,則 ，又 ， ，又 ，即 ，且 ， ， ，
在 ，由三線合一可得， 。 …………6分
(2)因?yàn)槠矫?平面 ,平面 平面 ，且 ，故 ，分別以 ，則 ， …………8分
故 ，設(shè)面 的法向量 ，則有 ， …………………………9分
同理得：面 得法向量 ， …………………………10分
設(shè)所求二面角為 ，
則 ， ……………………11分
故 . ………………………………12分
21. 解析：(1)證明：把P(2，4)代入 ，得h=6。…………2分
所以拋物線方程為：y-4=k(x-2)，由 ，消去y，
得 所以 ， ………………4分
因?yàn)镻A和PB的傾斜角互補(bǔ)，所以 ，用-k代k，
得 ， ……………………………………5分
所以 = . ……………………6分
(2)設(shè)AB的方程為y=2x+m(m>0)，由 ，消去y得：
，令△=16-4(2m-12) >0，解得0
， ………………9分
點(diǎn)P到AB的距離d= ， ………………………………10分
所以，
= ，所以， ， …………………11分
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，等號(hào)成立，故△PAB面積最大值為 .……12分
22.解：(1)∵f(x)=1n(x-1)-k(x-1)+1，
∴x>1， ， …………………………1分
∵x>1，∴當(dāng)k≤0時(shí)， >0，f(x)在(1，+∞)上是增函數(shù);…………2分
當(dāng)k>0時(shí)，f(x)在(1，1+ )上是增函數(shù)，在(1+ ，+∞)上為減函數(shù).……………4分
(2)∵f(x)≤0恒成立，
∴∀x>1，ln(x-1)-k(x-1)+1≤0，
∴∀x>1，ln(x-1)≤k(x-1)-1，∴k>0. …………6分
由(1)知，f(x)max=f(1+ )=ln ≤0，解得k≥1.
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1，+∞). ……………………8分
(3)令k=1，則由(2)知：ln(x-1)≤x-2對(duì)x∈(1，+∞)恒成立，
即lnx≤x-1對(duì)x∈(0，+∞)恒成立. …………9分
取x=n2，則2lnn≤n2-1， …………10分
即 ，n≥2， ……………………11分
∴ ………………12分
高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模試題
一、單選題
1. ，則 用區(qū)間可表示為
A. B. C. D.
2.已知向量 ， ，若 ，則實(shí)數(shù) 的值為
A. B. C. D.
3.等差數(shù)列{an}中，a1+a5=14，a4=10，則數(shù)列{an}的公差為
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.若 ，且為第二象限角，則
A. B. C. D.
5.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若a1=2，a3=8,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為 ，則S6的值為
A. 62 B. 64 C. 126 D. 128
6.函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
7.設(shè)可導(dǎo)函數(shù) 在R上圖像連續(xù)且存在唯一極值，若在x=2處，f(x)存在極大值，則下列判斷正確的是
A. .
B. .
C. .
D. .
8.
A. B. C. D.
9.函數(shù) 的最小正周期為
A. B. C. D.
10.在 中， ( )
A. B. C. D.
11.設(shè)偶函數(shù) 滿足 ，且當(dāng) 時(shí)， ，則 在 上的單調(diào)性為
A.遞增 B.遞減 C.先增后減 D.先減后增
12. 恒成立，則下列各式恒成立的是
A. B.
C. D.
二、填空題
13.已知向量 ，則 的夾角余弦值為________.
14.在△ABC中，若 ，則 =______.
15.若f(x)= x3-f′(1)x2+x+ ，則在(1，f(1))處曲線 的切線方程是______
16. ：
;
.
其中真命題的序號(hào)為 ___
三、解答題
17.已知等差數(shù)列 滿足 。
(1)求通項(xiàng) ;
(2)設(shè) 是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列 通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和 .
18.
(1)求 的表達(dá)式;
(2)將f(x)的圖象向右平移 個(gè)單位后得到y(tǒng)=g(x)的圖象，求 在 上的值域.
19.設(shè)數(shù)列 的前項(xiàng)和為 ，滿足 .
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) .求數(shù)列 前項(xiàng)和 .
20.設(shè)函數(shù) .
(1)求函數(shù) 的極小值;
(2)若關(guān)于 的方程 在區(qū)間 上有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
21.在 中，角 的對(duì)邊的邊長(zhǎng)為 ，且 。
(1)求 的大小;
(2)若 ，且 ，求邊長(zhǎng) 的值。
22.已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax，其中a為實(shí)數(shù).
(1)求出f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)在a<1時(shí)，是否存在m>1，使得對(duì)任意的x∈(1，m),恒有f(x)+a>0，并說明理由.
高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)試卷
數(shù)學(xué)答案
參考答案
1.C
【解析】
【分析】
先化簡(jiǎn)集合A和B，再根據(jù)交集運(yùn)算的定義求解。
【詳解】
集合 = ， =
所以 ，答案選C。
【點(diǎn)睛】
在進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，當(dāng)集合沒有化簡(jiǎn)，要先化簡(jiǎn)集合;當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時(shí)，可以通過列舉集合的元素進(jìn)行運(yùn)算，也可借助Venn圖運(yùn)算;當(dāng)集合為無限集時(shí)，可借助數(shù)軸進(jìn)行運(yùn)算。集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算口訣如下：交集元素仔細(xì)找，屬于A且屬于B;并集元素勿遺漏，切記重復(fù)僅取一;全集U是大范圍，去掉U中A元素，剩余元素成補(bǔ)集。
2.B
【解析】∵向量 ， ，由 ，得 ，解得： ，故選B.
3.C
【解析】
【分析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)，a1+a5=14可化為 ，可求 ，再運(yùn)用公差計(jì)算公式 即可求出結(jié)果。
【詳解】
因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，
所以 = =
而a4=10，
所以 ，
所以公差 =3。答案選C。
【點(diǎn)睛】
本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及公差計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題。
4.A
【解析】
【分析】
先由誘導(dǎo)公式得 ，再求出 ，最后根據(jù)定義求 。
【詳解】
因?yàn)?，
所以 ，
又因?yàn)?為第二象限角，所以 ，
所以 = 。答案選A
【點(diǎn)睛】
本題考查了誘導(dǎo)公式，同解三角函數(shù)關(guān)系及三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)等知識(shí)點(diǎn)，都屬于基本知識(shí)，比較容易，但在求三角函數(shù)的值時(shí)，較容易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，需要注意。
5.C
【解析】
【分析】
根據(jù)a1=2，a3=8先求出公比為2，再代入{an}的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可。
【詳解】
因?yàn)閧an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以 ，即 ，
所以{an}的前6項(xiàng)和為 為 = =126，答案選C
【點(diǎn)睛】
本題考查了等比數(shù)的公比計(jì)算公式及前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題。
6.C
【解析】
【分析】
函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題等價(jià)于方程 解的個(gè)數(shù)問題，考查函數(shù) 和函數(shù) 的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可。
【詳解】
作出函數(shù) 和函數(shù) 的圖像如下：
由圖像可知，函數(shù) 和函數(shù) 的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程 有2個(gè)解，
所以函數(shù) 的零點(diǎn)有2個(gè)，答案選C。
【點(diǎn)睛】
本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及函數(shù)數(shù)零點(diǎn)的問題可化為方程根的個(gè)數(shù)問題討論，而方程解的個(gè)數(shù)問題又可化為函數(shù)的零點(diǎn)問題進(jìn)行討論，而數(shù)形結(jié)合是解決這類問題最主要的方法。
7.A
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)極值的判定方法，極大值點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)函數(shù)值為正，右側(cè)為負(fù)，即可判斷。
【詳解】
由題意知，x=2為導(dǎo)函數(shù) 的極大值點(diǎn)，
所以，當(dāng) 時(shí)， ;當(dāng) 時(shí)， 。故答案選A。
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)極值的判定方法，屬于基礎(chǔ)題。
8.B
【解析】
【分析】
首先判斷 為定義域 上的偶函數(shù)，再討論當(dāng) 和 時(shí)的單調(diào)性，最后將不等式 化為 ，即 ，求解即可。
【詳解】
易知 為定義域 上的偶函數(shù)，
當(dāng) 時(shí)， ，
因?yàn)?和 均為減函數(shù)，所以 在 時(shí)為減函數(shù)。
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得， 在 時(shí)為增函數(shù)。
所以不等式 等價(jià)于 或
解得 。答案選B。
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解不等式問題，其中根據(jù)函數(shù)的解析式得到函數(shù)的定義域和單調(diào)性、奇偶性轉(zhuǎn)化不等式是解題關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化能力以及推理計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題。
9.D
【解析】
【分析】
利用二倍角公式把函數(shù) 化為 ，再運(yùn)用輔助角公式把函數(shù)化為 ，最后求最小正周期
【詳解】
=
= ，
所以最小正周期 。答案選D。
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了三角恒等變換，三角函數(shù)的最小正周期的求法，此類問題通常要先對(duì)所給函數(shù)式進(jìn)行恒等變換，最終化為 的形式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求單調(diào)區(qū)間，最值或值域，對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心，周期則要用公式 計(jì)算。
10.A
【解析】
【詳解】
在 中，
所以
= =
= =27。
所以 ，答案選A。
11.D
【解析】
【分析】
由函數(shù) 滿足 ，可得函數(shù) 的周期為4，且為偶函數(shù)，另外，當(dāng) 時(shí)， 是增函數(shù)，可推測(cè) 在 上單調(diào)減，運(yùn)用周期性即可推斷在 上的單調(diào)性。
【詳解】
因?yàn)?滿足 ，
所以函數(shù) 的周期為4。
又當(dāng) 時(shí)， ，
所以 ，且當(dāng) 時(shí)，有 ，所以 在 上單調(diào)增。
另外，因?yàn)楹瘮?shù) 是R上的偶函數(shù)，
所以 在 上單調(diào)減，
所以 在 上先減后增;
所以 在 上的單調(diào)性為先減后增。答案選D。
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，周期性和單調(diào)性的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵。本題是一道綜合性較強(qiáng)的中檔題。
12.B
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù) ，求出 ，得到該函數(shù)為R上的增函數(shù)，故得 ， ，從而可得到結(jié)論。
【詳解】
設(shè) ，
所以 =
因?yàn)閷?duì)于 ，所以 ，
所以 是R上的增函數(shù)，
所以 ，
即 ， ，
整理得 和 。故答案選B。
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于中檔題。
13.
【解析】
【分析】
將條件代入向量夾角計(jì)算公式即可。
【詳解】
設(shè) 的夾角為 ，則
= = 。
【點(diǎn)睛】
本題考查平面向夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。
14.2
【解析】
【分析】
由正弦定理，將式子中的邊化為角，代入即可。
【詳解】
因?yàn)?/p>
所以 ， ，
所以
= = = =2。
【點(diǎn)睛】
本題主要考查正弦定理的變形運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。
15.2x-3y+1=0
【解析】
【分析】
首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得 ，把 代入可求 ，把 代入函數(shù) 可求 ，用點(diǎn)斜式方程寫出切線并化簡(jiǎn)即可。
【詳解】
因?yàn)閒(x)= x3-f′(1)x2+x+ ，
所以
把 代入，則 ，
所以 ，
把 代入，則
所以過點(diǎn)(1，f(1))處曲線 的切線方程
整理得 。
【點(diǎn)睛】
本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題。
16.(2)(3)
【解析】
【分析】
運(yùn)用二倍角、輔助角公式將函數(shù) 化為 ，分別求其對(duì)稱軸，對(duì)稱中心，并進(jìn)行圖像平移，討論三個(gè)結(jié)論即可。
【詳解】
函數(shù) 可化為 ，
所以 ，
所以函數(shù) 的對(duì)稱軸為 ，故命題(1)錯(cuò)誤;
函數(shù) 的對(duì)稱中心為 ，取 時(shí)，對(duì)稱中心為 ，命題(2)正確;
函數(shù) 向左平移 個(gè)單位，得 = = ， 為奇函數(shù)，命題(3)正確。故答案為(2)(3)。
【點(diǎn)睛】
本題主要通過對(duì)多個(gè)命題真假的判斷，主要綜合考查三角函數(shù)的對(duì)稱性、三角函數(shù)的圖像平移，屬于中檔題.這種題型綜合性較強(qiáng)，也是高考的命題熱點(diǎn)，同學(xué)們往往因?yàn)槟骋惶幹R(shí)點(diǎn)掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡(jiǎn)單的自己已經(jīng)掌握的知識(shí)點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命題
17.(1) ;(2) ， 。
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合條件建立關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組 ，求解即可;(2)可先求出 的通項(xiàng)，再解出數(shù)列 通項(xiàng)公式，求其前n項(xiàng)和則運(yùn)用分組求和的方法求解即可。
【詳解】
(1)由題意得 ，
解得 ，
(2)
，
，
∴ 。
【點(diǎn)睛】
本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式及分組求和法，比較基礎(chǔ)，難度不大，關(guān)鍵是掌握基本公式即可。
18.(1) ;(2) 。
【解析】
【分析】
(1)運(yùn)用向量的數(shù)量積計(jì)算公式代入，并對(duì)函數(shù)式進(jìn)行三角恒等變換，可得 的表達(dá)式;(2)先根據(jù)圖像平移得到 ，再結(jié)合圖像與性質(zhì)求值域。
【詳解】
(1)
，
。
(2) ，
，
。
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角恒等變換及三角函數(shù)的值域，屬于中檔題。形如 ， 的函數(shù)求值域，分兩步：(1) 求出 的范圍;(2)由 的范圍結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求出 ，從而可求出函數(shù)的值域。
19.(1) ;(2) 。
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和與數(shù)列的通項(xiàng)的關(guān)系 ，可求通項(xiàng);(2)先由(1)的結(jié)論求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用裂項(xiàng)法求其前n項(xiàng)和。
【詳解】
(1)當(dāng) 時(shí)，
∵ ①
∴ ②
?、?②得 ;
即
又 ;得： ，
∴數(shù)列 是以 為首項(xiàng)， 2為公比的等比數(shù)列
∴
(2)∵ ， ，
∴ ，
∴ .
【點(diǎn)睛】
本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和與數(shù)列的通項(xiàng)的關(guān)系及裂項(xiàng)法求和，屬于中檔題。在運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和與數(shù)列的通項(xiàng)的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，比較容易忘記關(guān)系式 中的條件，即求出通項(xiàng)后，一定要驗(yàn)證n=1 時(shí)，通項(xiàng)公式是否也成立。
20.(1)函數(shù) 的極小值為 ;(2) 。
【解析】
【分析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，討論函數(shù)單調(diào)性，確定極小值點(diǎn)，并求得極值。(2)結(jié)合(1)的結(jié)果“方程 在區(qū)間 上有唯一實(shí)數(shù)解”即為 ，解不等式即可。
【詳解】
(1)依題意知 的定義域?yàn)?。
，
所以函數(shù) 的極小值為 。
(2)由(1)得
所以要使方程 在區(qū)間 上有唯一實(shí)數(shù)解，
只需 ，
，
。
。
【點(diǎn)睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及討論方程問題，屬于中檔題。
21.(1) ;(2) 。
【解析】
【分析】
(1)運(yùn)用正弦定理將條件 中的邊化為角，進(jìn)行三角恒等變形，可得 ;(2)運(yùn)用余弦定理，三角形的面積公式。結(jié)合條件 ，即求 。
【詳解】
(1)由正弦定理得
又因?yàn)樵谌切沃?，
∴ ，
可得 ，
又 ，
所以 .
∵ ，
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角形正弦定理、余弦定理和三角函數(shù)的恒等變換公式，及三角形面積。屬于中檔題。
22.(1)答案見解析;(2)在a<1時(shí)，存在m>1，使得對(duì)任意x∈(1，m)恒有f(x)+a>0。理由見解析。
【解析】
【分析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并分a≤0和a>0兩種情況討論。可求出結(jié)果;(2)結(jié)合(1)將a<1分為a≤0和 兩種情況進(jìn)行討論即可。
【詳解】
(1)∵f(x)=lnx﹣ax，
∴ ，
當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0恒成立，
函數(shù)f(x)在定義域(0，+∞)遞增;無減區(qū)間
當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，則x= ，
當(dāng)x∈(0， )時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)x∈( ，+∞)時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)為減函數(shù)。
(2)在a<1時(shí)，存在m>1，使得對(duì)任意的x∈(1，m)恒有f(x)+a>0。
理由如下：
由(1)得
當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(1，m)遞增，
，
，
即f(x)+a>0。
綜上可得：在a<1時(shí)，存在m>1，使得對(duì)任意x∈(1，m)恒有f(x)+a>0。
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，及學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力。屬于中檔題。
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