高一數(shù)學(xué)必修二平面知識(shí)點(diǎn)詳解
高一數(shù)學(xué)必修二平面知識(shí)點(diǎn)詳解
高一的時(shí)候，正是學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)淼挠嘘P(guān)于高一的數(shù)學(xué)關(guān)于平面的知識(shí)點(diǎn)的介紹，希望能夠幫助到大家。
高一數(shù)學(xué)必修二平面知識(shí)點(diǎn)
一、高一數(shù)學(xué)平面概念
通常用一個(gè)平行四邊形來表示。
平面常用希臘字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P來表示，也可用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)字母表示，如平面AC.
在立體幾何中，大寫字母A，B，C，…表示點(diǎn)，小寫字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直線，且把直線和平面看成點(diǎn)的集合，因而能借用集合論中的符號(hào)表示它們之間的關(guān)系，例如：
a) A∈l—點(diǎn)A在直線l上;Aα—點(diǎn)A不在平面α內(nèi);
b) lα—直線l在平面α內(nèi);
c) aα—直線a不在平面α內(nèi);
d) l∩m=A—直線l與直線m相交于A點(diǎn);
e) α∩l=A—平面α與直線l交于A點(diǎn);
f) α∩β=l—平面α與平面β相交于直線l.
二、高一數(shù)學(xué)平面的基本性質(zhì)
公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).
公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.
公理3經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.
根據(jù)上面的公理，可得以下推論.
推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.
推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.
推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.
公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行
高一數(shù)學(xué)必修二集合公式
特殊幾何體表面積公式(c為底面周長(zhǎng)，h為高，為斜高，l為母線) 柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式
球體的表面積和體積公式：V= ; S=
1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1 平面含義：平面是無限延展的2 三個(gè)公理：(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).符號(hào)表示為A∈LB∈L => L αA∈αB∈α公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi).
(2)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線 => 有且只有一個(gè)平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。
(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù).
.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系： 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn);異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線a∥bc∥b強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。
3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
4 注意點(diǎn)：① a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上;
?、?兩條異面直線所成的角θ∈(0， );
?、?當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b;
?、?兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形;
⑤ 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系
1、直線與平面有三種位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi) —— 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
(2)直線與平面相交 —— 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
(3)直線在平面平行 —— 沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a α來表示a α a∩α=A a∥α
2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。
符號(hào)表示：a αb β => a∥αa∥b
2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：a βb βa∩b = P β∥αa∥αb∥α
2、判斷兩平面平行的方法有三種：(1)用定義;(2)判定定理;(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表示：a ∥αa β a∥bα∩β= b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。
2、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行的平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號(hào)表示：α∥βα∩γ= a a∥b β∩γ= b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
2.3.1直線與平面垂直的判定1、定義：如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。
P a L2、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。
注意點(diǎn)： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;
b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。
2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形A 梭 l βB α2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。
2、兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。第三章 直線與方程(1)直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°
2、兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。第三章 直線與方程(1)直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°
(2)直線的斜率①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), α=0°, k = tan0°=0;當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí), α= 90°, k 不存在.當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)，不存在。②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式： ( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)
注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°;(2)k與P1、P2的順序無關(guān);
(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。
(3)直線方程
?、冱c(diǎn)斜式：直線斜率k，且過點(diǎn)注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。
?、谛苯厥剑?，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b
?、蹆牲c(diǎn)式：()直線兩點(diǎn)，
?、芙鼐厥剑浩渲兄本€與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。
?、菀话闶剑?A，B不全為0)
注意：1各式的適用范圍
2特殊的方程如：平行于x軸的直線：(b為常數(shù)); 平行于y軸的直線：(a為常數(shù)); (6)兩直線平行與垂直當(dāng)，時(shí)，
;注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。
(7)兩條直線的交點(diǎn) 相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無解 ; 方程組有無數(shù)解與重合
(8)兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則
(9)點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離(10)兩平行直線距離公式已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，
?。?，則與的距離為1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。
2、圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r;
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：當(dāng)>，點(diǎn)在圓外
當(dāng)=，點(diǎn)在圓上
當(dāng)<，點(diǎn)在圓內(nèi)
(2)一般方程當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為
當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn); 當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。3)求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn);另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況：
(1)設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為 ，則有;;(2)過圓外一點(diǎn)的切線：①k不存在，驗(yàn)證是否成立②k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】
(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。當(dāng)時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條;當(dāng)時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條;當(dāng)時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線;當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線;當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含; 當(dāng)時(shí)，為同心圓。注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上;已知兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線 圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)
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