高一數學平面向量知識點分析
高一數學平面向量知識點分析
平面向量是高一的知識點，想要學習好需要學生把握好概念和運算，下面是學習啦小編給大家?guī)淼挠嘘P于高中數學平面向量知識點的具體介紹，希望能夠幫助到大家。
高一數學平面向量知識點
向量：既有大小，又有方向的量.
數量：只有大小，沒有方向的量.
有向線段的三要素：起點、方向、長度.
零向量：長度為的向量.
單位向量：長度等于個單位的向量.
相等向量：長度相等且方向相同的向量
&向量的運算
加法運算
AB+BC=AC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。
已知兩個從同一點O出發(fā)的兩個向量OA、OB，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。
對于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法滿足所有的加法運算定律。
減法運算
與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
數乘運算
實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當λ > 0時，λa的方向和a的方向相同，當λ< 0時，λa的方向和a的方向相反，當λ = 0時，λa = 0。
設λ、μ是實數，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。
向量的加法運算、減法運算、數乘運算統(tǒng)稱線性運算。
向量的數量積
已知兩個非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a與b的數量積或內積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的數量積為0。
a.b的幾何意義：數量積a.b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。
兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和。
高一必修二數學平面的基本性質知識點
平面的基本性質
教學目標
1、知識與能力：
(1)鞏固平面的基本性質即四條公理和三條推論.
(2)能使用公理和推論進行解題.
2、過程與方法：
(1)體驗在空間確定一個平面的過程與方法;
(2)掌握利用平面的基本性質證明三點共線、三線共點、多線共面的方法。
3、情感態(tài)度與價值觀：
培養(yǎng)學生認真觀察的態(tài)度，慎密思考的習慣，提高學生的審美能力和空間想象的能力。
教學重點
平面的三條基本性質即三條推論.
教學難點
準確運用三條公理和推論解題.
教學過程
一、問題情境
問題1：空間共點的三條直線能確定幾個平面?空間互相平行的三條直線呢?
問題2：如何判斷桌子的四條腿的底端是否在一個平面內?
二、溫故知新
公理1
如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內.
公理2
如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其它公共點，這些公共點的集合是經過這個公共點的一條直線.
公理3
經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.
推論1
經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面.
推論2
經過兩條相交直線，有且只有一個平面.
推論3
經過兩條平行直線，有且只有一個平面.
公理 4(平行公理) 平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
把以上各公理及推論進行對比：
三、數學運用
基礎訓練：(1)已知： ;求證：直線AD、BD、CD共面.
證明： ——公理3推論1
——公理1
同理可證， , 直線AD、BD、CD共面
【解題反思1】1。邏輯要嚴謹
2.書寫要規(guī)范
3.證明共面的步驟：
(1)確定平面——公理3及其3個推論
(2)證線“歸” 面(線在面內如： )——公理1
(3)作出結論。
變式1、如果直線兩兩相交，那么這三條直線是否共面?(口答)
變式2、已知空間不共面的四點，過其中任意三點可以確定一個平面，由這四個點能確定幾個平面?
變式3、四條線段順次首尾連接，所得的圖形一定是平面圖形嗎?(口答)
(2)已知直線 滿足： ;求證：直線
證明： ——公理3推論3
——公理1
直線 共面
提高訓練：已知 ，求證： 四條直線在同一平面內.
思路分析：考慮由直線a,b確定一個平面，再證明直線c,l在此平面上，但十分困難。因而可以開放思路，考慮確定兩個平面，再證明兩個平面重合，問題迎刃而解。
證明：
——公理3推論3
——公理3推論3
——公理1
因此，平面 同時經過兩條相交直線 所以平面 重合。——公理3推論2
直線 共面
上面方法稱為同一法
拓展訓練：如圖，三棱錐A-BCD中，E、G分別是BC、AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF:FC=DH:HA=2:3;求證：EF、GH、BD交于一點.[滲透空間問題平面化思想]
思路分析：思路1：開放思路，考慮三個平面，首先證明兩條直線在一個面內，并且相交，然后證明交點在兩個平面上，據公理2知它在兩面唯一的交線——第三條直線上，因此證得三線共點。
證法1：連接 ，
因 E、G分別是BC、AB的中點，故 因DF:FC=DH:HA=2:3,故 ——公理4
共面，由上知， 相交，設交點為O,則 平面 , 平面 ,
所以 直線 所以EF、GH、BD交于一點。
思路2：首先證明直線 GH、BD交于一點P,直線EF 、BD交于一點Q，然后證明兩點P、Q重合，進而得出EF、GH、BD交于一點。
證法法2：提示：過點H作HO,使得 ,交點為O，連接OF，證明 ,
延長GH,EF,使它們與直線BD分別交于點P、Q，由三角形相似可以得出OP=OQ.所以點P、Q重合。
鏈接生活：在正方體木頭中，試畫出過其中三條棱的中點P、Q、R的平面截得木頭的截面形狀.
【解題反思2】1。邏輯要嚴謹
2.書寫要規(guī)范
3.方法要掌握
(1)證明共面的步驟：
1)確定平面——公理3及其3個推論——公理3及3個推論
2)證線“歸” 面(線在面內如： )——公理1
3)作出結論。
(2)證明共線的步驟：
?、僮C所有點在第一個面內(如平面 )——公理1
?、谧C所有點在第二個面內(如平面 ) ——公理1
?、劢Y論1：所有點在兩個平面的交線上
?、芙Y論2：所有點共線——公理2
(3)證明共點的步驟：
1)證交于一個點——公理3及3個推論
2)證此點在二個面內(如平面 ) ——公理1
3)結論1：此點在兩個平面的交線上——————公理2
4)結論2：三條線共點
四、回顧小結
本節(jié)主要復習了平面三個公理和三個推論，學會了如何使用公理及其推論解題.
五、課外作業(yè)(見所發(fā)的前置作業(yè))
反饋練習
[ 1.2.1 平面的基本性質(2)]
1、經過同一直線上的3個點的平面( )
A、有且只有1個 B、有且只有3個 C、有無數個 D、有0個
2、若空間三個平面兩兩相交，則它們的交線條數是( )
A、1或2 B、2或3 C、1或3 D、1或2或3
3、與空間四點距離相等的平面共有( )
A、3個或7個 B、4個或10個 C、4個或無數個 D、7個或無數個
4、四條平行直線最多可以確定( )
A、三個平面 B、四個平面 C、五個平面 D、六個平面
5、四條線段首尾順次相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數有 個.
6、給出以下四個命題：
①若空間四點不共面，則其中無三點共線;
?、谌糁本€l上有一點在平面 外，則l在 外;
?、廴糁本€ 、 、 中， 與 共面且 與 共面，則 與 共面;
④兩兩相交的三條直線共面.
其中所有正確的命題的序號是 .
7.點P在直線l上，而直線l在平面 內，用符號表示為( )
A. B. C. D. 8.下列推理，錯誤的是( )
A. B. C. D. 9.下面是四個命題的敘述語(其中A、B表示點， 表示直線， 表示平面)
?、?② ③ ④ 其中敘述方法和推理過程都正確的命題的序號是_______________.
10、已知A、B、C不在同一條直線上，求證：直線AB、BC、CA共面.
11、求證：如果一條直線與兩條平行線都相交，那么這三條直線在同一個平面內.
已知：直線 、 、 且 ， ， ;
求證：直線 、 、 共面.
12、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
?、貯A1與CC1能否確定一個平面?為什么?
②點B、C1、D能否確定一個平面?為什么?
?、郛嫵銎矫鍭CC1A1與平面BC1D的交線，平面ACD1與平面BDC1的交線.
13、兩兩相交且不共點的四條直線共面.(注：有兩種情形，見圖，試分別證之)
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