2017蘇教版九年級數(shù)學上期末考試題(2)
2017蘇教版九年級數(shù)學上期末考試題
2017蘇教版九年級數(shù)學上期末考試題參考答案
一.選擇題(本大題共10小題，每題3分，共30分.)
1.用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5時，此方程可變形為( )
A.(x+2)2=1 B.(x﹣2)2=1 C.(x+2)2=9 D.(x﹣2)2=9
【考點】解一元二次方程-配方法.
【專題】配方法.
【分析】配方法的一般步驟：
(1)把常數(shù)項移到等號的右邊;
(2)把二次項的系數(shù)化為1;
(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.
選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù).
【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴(x﹣2)2=9.故選D.
【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用.
2.以3和4為根的一元二次方程是( )
A.x2﹣7x+12=0 B.x2+7x+12=0 C.x2+7x﹣12=0 D.x2﹣7x﹣12=0
【考點】根與系數(shù)的關系.
【分析】分別求出各個選項中一元二次方程的兩根之和與兩根之積，進行作出正確判斷.
【解答】解：A、在x2﹣7x+12=0中，x1+x2=7，x1x2=12，此選項正確;
B、在x2+7x+12=0中，x1+x2=﹣7，x1x2=12，此選項不正確;
C、在x2+7x﹣12=0中，x1+x2=7，x1x2=﹣12，此選項不正確;
D、在x2﹣7x﹣12=0中，x1+x2=﹣7，x1x2=﹣12，此選項不正確;
故選A.
【點評】本題主要考查了根與系數(shù)的關系的知識，解答本題的關鍵是要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關系：若方程兩個為x1，x2，則x1+x2= ，x1•x2= .
3.二次函數(shù)y=x2+4x﹣5的圖象的對稱軸為( )
A.直線x=2 B.直線x=﹣2 C.直線x=4 D.直線x=﹣4
【考點】二次函數(shù)的性質.
【分析】直接利用拋物線的對稱軸公式代入求出即可.
【解答】解：二次函數(shù)y=x2+4x﹣5的圖象的對稱軸為：x=﹣ =﹣ =﹣2.
故選B.
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質，正確記憶拋物線對稱軸公式是解題關鍵.
4.已知⊙O的半徑為5，直線l是⊙O的切線，則點O到直線l的距離是( )
A.2.5 B.3 C.5 D.10
【考點】切線的性質.
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系可直接得到點O到直線l的距離是5.
【解答】解：∵直線l與半徑為r的⊙O相切，
∴點O到直線l的距離等于圓的半徑，
即點O到直線l的距離為5.
故選C.
【點評】本題考查了切線的性質以及直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，直線l和⊙O相交⇔d
5.一組數(shù)據(jù)5，2，x，6，4的平均數(shù)是4，這組數(shù)據(jù)的方差是( )
A.2 B. C.10 D.
【考點】方差;算術平均數(shù).
【分析】根據(jù)平均數(shù)的公式求出x的值，根據(jù)方差公式求出方差.
【解答】解：由題意得， (5+2+x+6+4)=4，
解得，x=3，
s2= [(5﹣4)2+(2﹣4)2+(3﹣4)2+(6﹣4)2+(4﹣4)2]
=2，
故選：A.
【點評】本題考查的是平均數(shù)和方差的計算，掌握平均數(shù)和方差的計算公式是解題的關鍵.方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2].
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜邊AB是直角邊BC的3倍，則tanB的值是( )
A. B.3 C. D.2
【考點】銳角三角函數(shù)的定義;勾股定理.
【分析】設BC=x，則AB=3x，由勾股定理求出AC，根據(jù)三角函數(shù)的概念求出tanB.
【解答】解：設BC=x，則AB=3x，
由勾股定理得，AC=2 x，
tanB= = =2 ，
故選：D.
【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的概念和勾股定理的應用，應用勾股定理求出直角三角形的邊長、正確理解銳角三角函數(shù)的概念是解題的關鍵.
7.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若∠A=70°，則∠C的度數(shù)是( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
【考點】圓內接四邊形的性質.
【專題】計算題.
【分析】直接根據(jù)圓內接四邊形的性質求解.
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠C+∠A=180°，
∴∠A=180°﹣70°=110°.
故選B.
【點評】本題考查了圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補;圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角.
8.如圖，AB為⊙O的切線，切點為B，連接AO，AO與⊙O交于點C，BD為⊙O的直徑，連接CD.若∠A=30°，⊙O的半徑為2，則圖中陰影部分的面積為( )
A. ﹣ B. ﹣2 C.π﹣ D. ﹣
【考點】扇形面積的計算;切線的性質.
【分析】過O點作OE⊥CD于E，首先根據(jù)切線的性質和直角三角形的性質可得∠AOB=60°，再根據(jù)平角的定義和三角形外角的性質可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根據(jù)含30°的直角三角形的性質可得OE，CD的長，再根據(jù)陰影部分的面積=扇形OCD的面積﹣三角形OCD的面積，列式計算即可求解.
【解答】解：過O點作OE⊥CD于E，
∵AB為⊙O的切線，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，
∵⊙O的半徑為2，
∴OE=1，CE=DE= ，
∴CD=2 ，
∴圖中陰影部分的面積為： ﹣ ×2 ×1= π﹣ .
故選：A.
【點評】考查了扇形面積的計算，切線的性質，本題關鍵是理解陰影部分的面積=扇形OCD的面積﹣三角形OCD的面積.
9.如圖，E是平行四邊形ABCD的BA邊的延長線上的一點，CE交AD于點F.下列各式中，錯誤的是( )
A. B. C. D.
【考點】平行線分線段成比例;平行四邊形的性質.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質得到AB∥CD，AB=CD;AD∥BC，再根據(jù)平行線分線段成比例得到 = = ，用AB等量代換CD，得到 = = ;再利用AF∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例得 = ，由此可判斷A選項中的比例是錯誤的.
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD;AD∥BC，
∴ = = ，而AB=CD，
∴ = = ，而AB=CD，
∴ = = ;
又∵AF∥BC，
∴ = .
故選A.
【點評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得對應線段成比例.也考查了平行四邊形的性質.
10.如圖，雙曲線y= 經(jīng)過拋物線y=ax2+bx的頂點(﹣ ，m)(m>0)，則有( )
A.a=b+2k B.a=b﹣2k C.k
【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.
【分析】根據(jù)拋物線的開口方向和反比例函數(shù)所處的象限判斷a<0，k<0，根據(jù)對稱軸x=﹣ =﹣ 得出a=b，由雙曲線y= 經(jīng)過拋物線y=ax2+bx的頂點(﹣ ，m)(m>0)，對稱k=﹣ m，m= a﹣ b，進而對稱8k=a=b，即可得出a
【解答】解：∵拋物線y=ax2+bx的頂點(﹣ ，m)，
∴對稱軸x=﹣ =﹣ ，
∴a=b<0，
∵雙曲線y= 經(jīng)過拋物線y=ax2+bx的頂點(﹣ ，m)(m>0)，
∴k=﹣ m，m= a﹣ b，
∴m=﹣2k，m=﹣ a=﹣ b，
∴﹣2k=﹣ a=﹣ b，
∴8k=a=b，
∵a<0，
∴a
故選D.
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，利用拋物線的頂點坐標和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征是解題的關鍵.
二.填空題(本大題共8小題，每題2分，共16分.)
11.方程3x2﹣4x+1=0的一個根為a，則3a2﹣4a+5的值為 4 .
【考點】一元二次方程的解;代數(shù)式求值.
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值;即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立;先把x=a代入方程3x2﹣4x+1=0，求出3a2﹣4a的值，再把3a2﹣4a的值代入式子3a2﹣4a+5即可求出代數(shù)式的值.
【解答】解：先把x=a代入方程3x2﹣4x+1=0，
可得3a2﹣4a+1=0，
解得3a2﹣4a=﹣1;
把3a2﹣4a=﹣1代入3a2﹣4a+5=﹣1+5=4.
【點評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義.
12.拋物線y=2(x﹣1)2﹣1與y軸的交點坐標是 (0，1) .
【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【專題】探究型.
【分析】根據(jù)y軸上點的坐標特點令x=0，求出y的值即可.
【解答】解：令x=0，則y=2(0﹣1)2﹣1=1，
故拋物線y=2(x﹣1)2﹣1與y軸的交點坐標是(0，1).
故答案為：(0，1)
【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象上點的坐標特點及y軸上點的坐標特點，熟知y軸上點的橫坐標為0的特點是解答此題的關鍵.
13.已知斜坡的坡角為α，坡度為1：1.5，則tanα的值為 .
【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.
【專題】應用題.
【分析】根據(jù)坡度的概念進行解答，坡度即為坡角的正切值.
【解答】解：由題意知斜坡的坡角為α，坡度為1：1.5，
即tanα=1：1.5= ，
故答案為： .
【點評】此題考查的是坡度和坡角的關系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡.
14.圓錐的底面圓半徑為3cm，側面積為15πcm2，則圓錐的母線長為 5 cm.
【考點】圓錐的計算.
【專題】計算題.
【分析】設圓錐的母線長為lcm，根據(jù)圓錐的側面展開圖為扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式得到 •2π•3•l=15π，然后解方程即可.
【解答】解：設圓錐的母線長為lcm，
根據(jù)題意得 •2π•3•l=15π，解得l=5，
所以圓錐的母線長為5cm.
故答案為5.
【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.
15.100件某種產(chǎn)品中有五件次品，從中任意取一件，恰好抽到次品的概率是 .
【考點】概率公式.
【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：
?、偃壳闆r的總數(shù);
②符合條件的情況數(shù)目;二者的比值就是其發(fā)生的概率.
【解答】解：100件某種產(chǎn)品中有五件次品，從中任意取一件，恰好抽到次品的概率是 = .
故答案為 .
【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P(A)= .
16.在△ABC中，最大∠A是最小∠C的2倍，且AB=2，AC=3，則BC的長為 .
【考點】相似三角形的判定與性質.
【分析】作出∠A的平分線AD，利用相似三角形的判定得出△BAD∽△BCA，進而得出 ，從而得出6=AD•BC，2AD=3(BC﹣AD)，進而得出BC的值.
【解答】解：如圖，作∠A的平分線AD，
∵最大角∠A是最小角∠C的兩倍，
∴∠BAD=∠DAC=∠C，
∴AD=CD，
∵∠BAC=2∠C，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴ ，
∴ ，
∴6=AD•BC，2AD=3(BC﹣AD)，
解得：AD= ，
∴CB= .
【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質，作出輔助線后利用相似三角形性質求出是解決問題的關鍵.
17.如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2 ，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為 .
【考點】垂徑定理;圓周角定理;解直角三角形.
【專題】壓軸題.
【分析】由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，因此當半徑OE最短時，EF最短，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH.
【解答】解：由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，
如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2 ，
∴AD=BD=2，即此時圓的直徑為2，
由圓周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1× = ，
由垂徑定理可知EF=2EH= .
故答案為： .
【點評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的綜合運用.關鍵是根據(jù)運動變化，找出滿足條件的最小圓，再解直角三角形.
18.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點在第一象限，且過點(0，1)和(﹣1，0).則S=a+b+c的值的變化范圍是 0
【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【專題】計算題.
【分析】將已知兩點坐標代入二次函數(shù)解析式，得出c的值及a、b的關系式，代入S=a+b+c中消元，再根據(jù)對稱軸的位置判斷S的取值范圍即可.
【解答】解：將點(0，1)和(﹣1，0)分別代入拋物線解析式，得c=1，a=b﹣1，
∴S=a+b+c=2b，
由題設知，對稱軸x= ，
∴2b>0.
又由b=a+1及a<0可知2b=2a+2<2.
∴0
故本題答案為：0
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特點，運用了消元法的思想，對稱軸的性質，需要靈活運用這些性質解題.
三.解答題(本大題共10小題，共84分.解答需寫出必要的文字說明或演算步驟)
19.解方程：
?、賦2﹣6x﹣4=0
②10x2﹣29x+10=0.
【考點】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
【分析】①移項，配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可;
②先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.
【解答】解：①x2﹣6x﹣4=0，
x2﹣6x=4，
x2﹣6x+9=4+9，
(x﹣3)2=13，
x﹣3= ，
x1=3+ ，x2=3﹣ ;
?、?0x2﹣29x+10=0，
(2x﹣5)(5x﹣2)=0，
2x﹣5=0，5x﹣2=0，
x1= ，x2= .
【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，能選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關鍵.
20.已知關于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0.
(1)若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若方程兩實數(shù)根為x1，x2，且滿足5x1+2x2=2，求實數(shù)m的值.
【考點】根的判別式;根與系數(shù)的關系.
【分析】(1)若一元二次方程有兩實數(shù)根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍;
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2=4，又5x1+2x2=2求出函數(shù)實數(shù)根，代入m=x1x2，即可得到結果.
【解答】解：(1)∵方程有實數(shù)根，
∴△=(﹣4)2﹣4m=16﹣4m≥0，
∴m≤4;
(2)∵x1+x2=4，
∴5x1+2x2=2(x1+x2)+3x1=2×4+3x1=2，
∴x1=﹣2，
把x1=﹣2代入x2﹣4x+m=0得：(﹣2)2﹣4×(﹣2)+m=0，
解得：m=﹣12.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac：當△>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0，方程沒有實數(shù)根.也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系.
21.在1，2，3，4，5這五個數(shù)中，先任意選出一個數(shù)a，然后在余下的數(shù)中任意取出一個數(shù)b，組成一個點(a，b)，求組成的點(a，b)恰好橫坐標為偶數(shù)且縱坐標為奇數(shù)的概率.(請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程)
【考點】列表法與樹狀圖法.
【分析】首先根據(jù)題意列出表格，然后根據(jù)表格求得所有等可能的情況與組成的點(a，b)恰好橫坐標為偶數(shù)且縱坐標為奇數(shù)的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解：列表得：
1 2 3 4 5
1 ﹣ (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) ﹣ (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) ﹣ (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) ﹣ (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) ﹣
∵組成的點(a，b)共有20個，其中橫坐標為偶數(shù)、縱坐標為奇數(shù)的點有6個，…6分
∴組成的點橫坐標為偶數(shù)、縱坐標為奇數(shù)的概率為 .…8分
【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法或樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件;解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.
22.已知拋物線y1=ax2+2x+c與直線y2=kx+b交于點A(﹣1，0)、B(2，3).
(1)求a、b、c的值;
(2)直接寫出當y1
(3)已知點C是拋物線上一點，且△ABC的面積為6，求點C的坐標.
【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)圖象上點的坐標特征;二次函數(shù)與不等式(組).
【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求得;
(2)判斷拋物線的開口，根據(jù)交點坐標即可求得;
(3)求得拋物線與x軸的交點M，則S△ABM=6，從而判定M出即為C1點，過M點作AB的平行線交拋物線于C2，根據(jù)平行線的性質判定此時三角形ABC2的面積=6，求得平行線與拋物線的交點，即為C點.
【解答】解：(1)∵拋物線y1=ax2+2x+c與直線y2=kx+b交于點A(﹣1，0)、B(2，3).
∴ ，
解得 ， ，
∴a=﹣1，b=1，c=3;
(2)∵a=﹣1<0，
∴拋物線的開口向下，
∴x<﹣1或x>2時，拋物線上的部分在直線的下方，
∴當y1
故答案為 x<﹣1或x>2.
(3)∵a=﹣1，b=1，c=3;
∴拋物線為y1=﹣x2+2x+3，直線為y2=x+1.
∵令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，
∴拋物線的另一個交點為M(3，0)，
∴AM=4，
∴S△ABM= AM×3=6，
∴C1點與M的重合，
過M點作AB的平行線交拋物線于C2，
此時三角形ABC2的面積=6，
設平行線的解析式為y=x+n，
∵平行線經(jīng)過(3，0)，
∴平行線的解析式為y=x﹣3，
解 得 或 ，
∴C的坐標為(3，0)或(﹣2，﹣5).
【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用.關鍵是由已知條件求拋物線解析式和直線的解析式，根據(jù)拋物線與x軸的交點，判斷三角形的面積，利用平移的性質解題.
23.如圖，AD是△ABC的中線，tanB= ，cosC= ，AC= .求：
(1)BC的長;
(2)sin∠ADC的值.
【考點】解直角三角形.
【分析】(1)過點A作AE⊥BC于點E，根據(jù)cosC= ，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根據(jù)tanB= ，求出BE的長即可;
(2)根據(jù)AD是△ABC的中線，求出BD的長，得到DE的長，得到答案.
【解答】解：過點A作AE⊥BC于點E，
∵cosC= ，
∴∠C=45°，
在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，
∴AE=CE=1，
在Rt△ABE中，tanB= ，即 = ，
∴BE=3AE=3，
∴BC=BE+CE=4;
(2)∵AD是△ABC的中線，
∴CD= BC=2，
∴DE=CD﹣CE=1，
∵AE⊥BC，DE=AE，
∴∠ADC=45°，
∴sin∠ADC= .
【點評】本題考查的是解直角三角形的知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵，注意銳角三角函數(shù)的概念的正確應用.
24.如圖，從一塊矩形薄板ABCD上裁下一個工件GEHCPD.圖中EF∥BC，GH∥AB，∠AEG=11°18′，∠PCF=33°42′，AG=2cm，F(xiàn)C=6cm.求工件GEHCPD的面積.(參考數(shù)據(jù)：tan11°18'≈ ，tan33°42′≈ )
【考點】解直角三角形的應用.
【專題】計算題.
【分析】工件GEHCPD的面積=矩形面積減去其余三個三角形的面積.其余三角形正好等于矩形面積的一半，只需求得矩形邊長即可.
【解答】解：∵∠AEG=11°18′，AG=2cm
∴AE=AG÷tan11°18'≈10
那么DF=10
∵FC=6cm，∠PCF=33°42′
∴PF=FC×tan33°42′≈4
那么CD=DF+FC=16，AD=EP+PF=6
∵△AGE和△DPF底相等，高加到一起是AD
所以是矩形AEFD的一半，同理可得到其余兩個三角形是下邊矩形的一半.
∴工件GEHCPD的面積=矩形面積÷2=6×16÷2=48.
【點評】解決本題的關鍵是根據(jù)題意得到所求面積與大矩形的關系.
25.某公司銷售一種新型節(jié)能產(chǎn)品，現(xiàn)準備從國內和國外兩種銷售方案中選擇一種進行銷售.若只在國內銷售，銷售價格y(元/件)與月銷量x(件)的函數(shù)關系式為y=﹣ x+150，成本為20元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費62500元，設月利潤為w內(元).若只在國外銷售，銷售價格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件(a為常數(shù)，10≤a≤40)，當月銷量為x(件)時，每月還需繳納 x2元的附加費，設月利潤為w外(元).
(1)當x=1000時，y= 140 元/件;
(2)分別求出w內，w外與x間的函數(shù)關系式(不必寫x的取值范圍)，并求當x為何值時，在國內銷售的月利潤為360000元?
(3)如果某月要求將5000件產(chǎn)品全部銷售完，請你通過分析幫公司決策，選擇在國內還是在國外銷售才能使所獲月利潤較大?
【考點】二次函數(shù)的應用.
【分析】(1)將x的值代入y關于x的解析式即可解題;
(2)根據(jù)利潤等于銷售利潤去掉附加費即可求得w內、w外的值，再根據(jù)月利潤為360000元即可求得x的值，即可解題;
(3)根據(jù)x=5000，即可求得w內的值和w外關于a的一次函數(shù)式，即可解題.
【解答】解：(1)將x=1000代入y=﹣ x+150得：
y=140，
故答案為 140;
(2)w內=x(y﹣20)﹣62500=﹣ x2+130x﹣62500，
w外=﹣ x2+(150﹣a)x;
當﹣ x2+130x﹣62500=360000時，
解得：x=6500，
故當x為6500時，在國內銷售的月利潤為360000元;
(3)當x=5000時，w內=337500，
w外=﹣5000a+500000，
若w內
若w內=w外，則a=32.5;
若w內>w外，則a>32.5，
所以，當10≤a<32.5時，選擇在國外銷售;
當a=32.5時，在國外和國內銷售都一樣;
當32.5
【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際生活中的應用，考查了一次函數(shù)的應用，本題中正確求得函數(shù)解析式是解題的關鍵.
26.如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延長線交于點M，∠COB=∠APB.
(1)求證：PB是⊙O的切線;
(2)當OB=3，PA=6時，求MB，MC的長.
【考點】切線的判定與性質.
【專題】證明題.
【分析】(1)根據(jù)切線的性質，可得∠MAP=90°，根據(jù)直角三角形的性質，可得∠P+M=90°，根據(jù)余角的性質，可得∠M+∠MOB=90°，根據(jù)直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根據(jù)切線的判定，可得答案;
(2)根據(jù)相似三角形的判定與性質，可得 = = ，根據(jù)解方程組，可得答案.
【解答】(1)證明：∵PA切⊙O于點A，
∴∠MAP=90°，
∴∠P+M=90°.
∵∠COB=∠APB，
∴∠M+∠MOB=90°，
∴∠MBO=90°，即OB⊥PB，
∵PB經(jīng)過直徑的外端點，
∴PB是⊙O的切線;
(2)∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，
∴△OBM∽△APM，
∴ = = ，
= ①，
= ②
聯(lián)立①②得 ，
解得 ，
當OB=3，PA=6時，MB=4，MC=2.
【點評】本題考查了切線的判定與性質，(1)利用了切線的判定與性質，直角三角形的判定與性質，余角的性質;(2)利用了相似三角形的判定與性質，解方程組.
27.如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=9，AB=12，BC=15.動點P從點B出發(fā)，沿BD向點D勻速運動;線段EF從DC出發(fā)，沿DA向點A勻速運動，且與BD交于點Q，連接PE、PF.若P、Q兩點同時出發(fā)，速度均為1個單位∕秒，當P、Q兩點相遇時，整個運動停止.設運動時間為t(s).
(1)當PE∥AB時，求t的值;
(2)設△PEF的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式;
(3)如圖2，當△PEF的外接圓圓心O恰好在EF的中點時，求t的值.
【考點】圓的綜合題.
【分析】(1)由勾股定理求出BD，當PE∥AB時，∠PEA=∠DEP=90°，作PK⊥AB于K，則PK=AE，PK∥AD，則 ，得出AE=PK= t，由AD=AE+ED= +t=9，解方程即可;
(2)過點P作BC的平行線，交EF于G，由BD=15=BC，得出∠BCD=∠BDC，由平行線的性質得出證出∠DEQ=∠EQD，得出DQ=DE=t，同理：PG=PQ=15﹣2t，得出S= PG•AB，即可得出結果;
(3)過點P作BC的垂線，交AD于M，交BC于N，則∠PME=∠FNP=90°，若△PEF的外接圓圓心O恰好在EF的中點，則EF為直徑，由圓周角定理得出∠EPF=90°，證出∠PEM=∠FPN，得出△EMP∽△PNF，得出對應邊成比例 = ，即可求出t的值.
【解答】解：(1)∵∠A=90°
∴BD= = =15，
當PE∥AB時，∠PEA=∠DEP=90°，
作PK⊥AB于K，如圖1所示：
則PK=AE，PK∥AD，
則 ，即 ，
∴AE=PK= t，
∴AD=AE+ED= +t=9，
解得：t= ;
(2)過點P作BC的平行線，交EF于G，如圖2所示：
∵BD=15=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∵AD∥BC，EF∥DC，
∴∠∠DEQ=∠BCD，∠EQD=∠BDC，
∴∠DEQ=∠EQD，
∴DQ=DE=t，
同理：PG=PQ=15﹣2t，
∴S= PG•AB= ×12(15﹣2t)=90﹣12t
(3)過點P作BC的垂線，交AD于M，交BC于N，如圖3所示：
則∠PME=∠FNP=90°，
∴∠MPE+∠PEM=90°，
若△PEF的外接圓圓心O恰好在EF的中點，
∴EF為直徑，
∴∠EPF=90°，
∴∠MPE+∠FPN=90°，
∴∠PEM=∠FPN，
∴△EMP∽△PNF，
∴ = ，即 ，
解得：t= 或 ，
∵2t≤15，
∴t≤ ，
∴t= .
【點評】本題是圓的綜合題目，考查了直角梯形的性質、相似三角形的判定與性質、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質、平行線的性質等知識;本題綜合性強，有一定難度，特別是(3)中，需要通過作輔助線證明三角形相似和運用圓周角定理才能得出結果.
28.邊長為2的正方形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點D是邊OA的中點，連接CD，點E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC.以直線AB為對稱軸的拋物線過C，E兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P從點C出發(fā)，沿射線CB每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒.過點P作PF⊥CD于點F，當t為何值時，以點P，F(xiàn)，D為頂點的三角形與△COD相似?
(3)點M為直線AB上一動點，點N為拋物線上一動點，是否存在點M，N，使得以點M，N，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標;若不存在，請說明理由.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)根據(jù)正方形的性質，可得OA=OC，∠AOC=∠DGE，根據(jù)余角的性質，可得∠OCD=∠GDE，根據(jù)全等三角形的判定與性質，可得EG=OD=1，DG=OC=2，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式;
(2)分類討論：若△DFP∽△COD，根據(jù)相似三角形的性質，可得∠PDF=∠DCO，根據(jù)平行線的判定與性質，可得∠PDO=∠OCP=∠AOC=90，根據(jù)矩形的判定與性質，可得PC的長;若△PFD∽△COD，根據(jù)相似三角形的性質，可得∠DPF=∠DCO， = ，根據(jù)等腰三角形的判定與性質，可得DF于CD的關系，根據(jù)相似三角形的相似比，可得PC的長;
(3)分類討論：▱MDNE，▱MNDE，▱NDME，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形式平行四邊，可得答案..
【解答】解：(1)過點E作EG⊥x軸于G點.
∵四邊形OABC是邊長為2的正方形，D是OA的中點，
∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°.
∵∠CDE=90°，
∴∠ODC+∠GDE=90°.
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠GDE.
在△OCD和△GED中 ，
∴△ODC≌△GED (AAS)，
∴EG=OD=1，DG=OC=2.
∴點E的坐標為(3，1).
∵拋物線的對稱軸為直線AB即直線x=2，
∴可設拋物線的解析式為y=a(x﹣2)2+k，
將C、E點的坐標代入解析式，得
.
解得 ，
拋物線的解析式為y= (x﹣2)2+ ;
(2)①若△DFP∽△COD，則∠PDF=∠DCO，
∴PD∥OC，
∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，
∴四邊形PDOC是矩形，
∴PC=OD=1，
∴t=1;
?、谌簟鱌FD∽△COD，則∠DPF=∠DCO， = .
∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF.
∴PC=PD，
∴DF= CD.
∵CD2=OD2+OC2=22+12=5，
∴CD= ，
∴DF= .
∵ = ，
∴PC=PD= × = ，
t= ，
綜上所述：t=1或t= 時，以點P，F(xiàn)，D為頂點的三角形與△COD相似;
(3)存在，
四邊形MDEN是平行四邊形時，M1(2，1)，N1(4，2);
四邊形MNDE是平行四邊形時，M2(2，3)，N2(0，2);
四邊形NDME是平行四邊形時，M3(2， )，N3(2， ).
【點評】本題考察了二次函數(shù)綜合題，(1)利用了正方形的性質，余角的性質，全等三角形的判定與性質，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;(2)利用了相似三角形的性質，矩形的判定，分類討論時解題關鍵;(3)利用了平行四邊形的判定，分類討論時解題關鍵.
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