九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷及答案
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷及答案
在我們的學(xué)習(xí)生活中,考試試卷題的練習(xí)是學(xué)生們的重要學(xué)習(xí)方式,應(yīng)對(duì)九年級(jí)數(shù)學(xué)期末考試輕松過(guò)關(guān)。以下是學(xué)習(xí)啦小編為你整理的九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷,希望對(duì)大家有幫助!
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷
一、選擇題(本題共12小題,每小題3分,共36分.)
1.一元二次方程x2﹣4=0的解是( )
A.x=2 B.x=﹣2 C.x1=2,x2=﹣2 D.x1= ,x2=﹣
2.下列函數(shù)中,是反比例函數(shù)的是( )
A.y= B.y=﹣ C.y= D.y=1﹣
3.二次函數(shù)y=x2+x的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A.(0,1) B.(0,﹣1) C.(0,0) D.(﹣1,0)
4.(m﹣1)x2+ x=1是關(guān)于x的一元二次方程,則m的取值范圍是( )
A.m≠1 B.m≥0 C.m≥0 且 m≠1 D.m為任意實(shí)數(shù)
5.既是軸對(duì)稱,又是中心對(duì)稱圖形的是( )
A.矩形 B.平行四邊形 C.正三角形 D.等腰梯形
6.在反比例函數(shù)y= 的圖象的每一條曲線上,y都隨x的增大而增大,則k的值可以是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
7.若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(4,﹣2),(m,1),則m=( )
A.1 B.﹣1 C.8 D.﹣8
8.如圖,⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E,且CE=2,OB=4,則AB的長(zhǎng)為( )
A.2 B.4 C.6 D.4
9.如圖,AB為⊙O的直徑,PD是⊙O的切線,點(diǎn)C為切點(diǎn),PD與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D,連接AC,若∠D=2∠CAD,CD=2,則BD的長(zhǎng)為( )
A.2 ﹣2 B.2﹣ C.2 ﹣1 D. ﹣1
10.如圖, 是半圓,連接AB,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),點(diǎn)C、D在 上,連接AD、CO、BC、BD、OD.若∠COD=62°,且AD∥OC,則∠ABD的大小是( )
A.26° B.28° C.30° D.32°
11.在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax+b與y=ax2﹣bx的圖象可能是( )
A. B. C. D.
12.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列結(jié)論:①abc>0;②a+b+c>0;③a﹣b+c<0;其中正確的結(jié)論有( )
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
二、填空(6小題,共24分)
13.已知函數(shù)y=(m+1) 是反比例函數(shù),則m的值為 .
14.若拋物線y=x2+mx+9的對(duì)稱軸是直線x=4,則m的值為 .
15.已知x=﹣1是方程x2﹣ax+6=0的一個(gè)根,則a= ,另一個(gè)根為 .
16.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“﹡”,其規(guī)則為a﹡b=a2﹣b2,根據(jù)這個(gè)規(guī)則,方程(x+1)﹡3=0的解為 .
17.有兩組撲克牌各三張,牌面數(shù)字分別為2,3,4,隨意從每組牌中抽取一張,數(shù)字和是6的概率是 .
18.如圖,在扇形AOB中,∠AOB=90°,半徑OA=6,將扇形AOB沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊,點(diǎn)O恰好落在弧AB上點(diǎn)D處,折痕交OA于點(diǎn)C,整個(gè)陰影部分的面積 .
三、解答題(本題共9小題,共90分)
19.解方程:x﹣3=x(x﹣3)
20.已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),且其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣2,﹣5),求此二次函數(shù)的解析式.
21.如果關(guān)于x的函數(shù)y=ax2+(a+2)x+a+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.
22.不透明的口袋里裝有白、黃、藍(lán)三種顏色的乒乓球(除顏色外其余都相同),其中白球有2個(gè),黃球有1個(gè),現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)是白球的概率為 .
(1)試求袋中藍(lán)球的個(gè)數(shù);
(2)第一次任意摸一個(gè)球(不放回),第二次再摸一個(gè)球,請(qǐng)用畫樹狀圖或列表格法,求兩次摸到都是白球的概率.
23.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),△AOB為頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(0,4),B(﹣3,0),按要求解答下列問(wèn)題.
(1)在圖中,先將△AOB向上平移6個(gè)單位,再向右平移3個(gè)單位,畫出平移后的△A1O1B1;(其中點(diǎn)A,O,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1,O1,B1)
(2)在圖中,將△A1O1B1繞點(diǎn)O1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△A2O1B2;(其中點(diǎn)A1,B1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A2,B2)
(3)直接寫出點(diǎn)A2,B2的坐標(biāo).
24.已知圖中的曲線是反比例函數(shù)y= (m為常數(shù),m≠5)圖象的一支.
(Ⅰ)這個(gè)反比例函數(shù)圖象的另一支在第幾象限?常數(shù)m的取值范圍是什么;
(Ⅱ)若該函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象在第一象內(nèi)限的交點(diǎn)為A,過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線,垂足為B,當(dāng)△OAB的面積為4時(shí),求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式.
25.隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高及汽車產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展,汽車已越來(lái)越多地進(jìn)入普通家庭,成為居民消費(fèi)新的增長(zhǎng)點(diǎn).據(jù)某市交通部門統(tǒng)計(jì),2007年底全市汽車擁有量為150萬(wàn)輛,而截止到2009年底,全市的汽車擁有量已達(dá)216萬(wàn)輛.
(1)求2007年底至2009年底該市汽車擁有量的年平均增長(zhǎng)率;
(2)為保護(hù)城市環(huán)境,緩解汽車擁堵狀況,該市交通部門擬控制汽車總量,要求到2011年底全市汽車擁有量不超過(guò)231.96萬(wàn)輛;另?yè)?jù)估計(jì),從2010年初起,該市此后每年報(bào)廢的汽車數(shù)量是上年底汽車擁有量的10%.假定每年新增汽車數(shù)量相同,請(qǐng)你計(jì)算出該市每年新增汽車數(shù)量最多不能超過(guò)多少萬(wàn)輛?
26.在▱ABCD中,AB=10,∠ABC=60°,以AB為直徑作⊙O,邊CD切⊙O于點(diǎn)E.
(1)圓心O到CD的距離是 .
(2)求由弧AE、線段AD、DE所圍成的陰影部分的面積.(結(jié)果保留π和根號(hào))
27.閱讀探索:“任意給定一個(gè)矩形A,是否存在另一個(gè)矩形B,它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的一半?”(完成下列空格)
(1)當(dāng)已知矩形A的邊長(zhǎng)分別為6和1時(shí),小亮同學(xué)是這樣研究的:
設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y,由題意得方程組: ,消去y化簡(jiǎn)得:2x2﹣7x+6=0,
∵△=49﹣48>0,∴x1= ,x2= ,
∴滿足要求的矩形B存在.
(2)如果已知矩形A的邊長(zhǎng)分別為2和1,請(qǐng)你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B.
(3)如果矩形A的邊長(zhǎng)為m和n,請(qǐng)你研究滿足什么條件時(shí),矩形B存在?
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷答案
一、選擇題(本題共12小題,每小題3分,共36分.)
1.一元二次方程x2﹣4=0的解是( )
A.x=2 B.x=﹣2 C.x1=2,x2=﹣2 D.x1= ,x2=﹣
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣直接開平方法.
【分析】觀察發(fā)現(xiàn)方程的兩邊同時(shí)加4后,左邊是一個(gè)完全平方式,即x2=4,即原題轉(zhuǎn)化為求4的平方根.
【解答】解:移項(xiàng)得:x2=4,
∴x=±2,即x1=2,x2=﹣2.
故選:C.
2.下列函數(shù)中,是反比例函數(shù)的是( )
A.y= B.y=﹣ C.y= D.y=1﹣
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義,反比例函數(shù)的一般式是y= (k≠0),即可判斷各函數(shù)類型是否符合題意.
【解答】解:A、y與x是正比例函數(shù)關(guān)系,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、y=﹣ ,符合反比例函數(shù)解析式的一般形式,故本選項(xiàng)正確;
C、y與x2是反比例函數(shù),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、y=1﹣ = ,不符合反比例函數(shù)解析式的一般形式,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;.
故選:B.
3.二次函數(shù)y=x2+x的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A.(0,1) B.(0,﹣1) C.(0,0) D.(﹣1,0)
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】令x=0,求出y的值,然后寫出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【解答】解:當(dāng)x=0時(shí),y=0,
則二次函數(shù)二次函數(shù)y=x2+x的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0),
故選:C.
4.(m﹣1)x2+ x=1是關(guān)于x的一元二次方程,則m的取值范圍是( )
A.m≠1 B.m≥0 C.m≥0 且 m≠1 D.m為任意實(shí)數(shù)
【考點(diǎn)】一元二次方程的定義.
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答.一元二次方程必須滿足四個(gè)條件:(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2;(2)二次項(xiàng)系數(shù)不為0;(3)是整式方程;(4)含有一個(gè)未知數(shù).由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證.
【解答】解:由題意,得
m≥0,且m﹣1≠0,
解得m≥0且m≠1,
故選:C.
5.既是軸對(duì)稱,又是中心對(duì)稱圖形的是( )
A.矩形 B.平行四邊形 C.正三角形 D.等腰梯形
【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形;軸對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合,這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形,這條直線叫做對(duì)稱軸.如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能夠與自身重合,那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心.
【解答】解:A、矩形是軸對(duì)稱圖形,也是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)正確;
B、平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形,是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、正三角形是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、等腰梯形是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選A.
6.在反比例函數(shù)y= 的圖象的每一條曲線上,y都隨x的增大而增大,則k的值可以是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】對(duì)于函數(shù) 來(lái)說(shuō),當(dāng)k<0時(shí),每一條曲線上,y隨x的增大而增大;當(dāng)k>0時(shí),每一條曲線上,y隨x的增大而減小.
【解答】解:反比例函數(shù) 的圖象上的每一條曲線上,y隨x的增大而增大,
∴1﹣k<0,
∴k>1.
故選:D.
7.若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(4,﹣2),(m,1),則m=( )
A.1 B.﹣1 C.8 D.﹣8
【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= ,將點(diǎn)(4,﹣2)代入y= ,求得k,再將(m,1)代入,求得m的值.
【解答】解:設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= ,
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(4,﹣2),(m,1),
∴k=﹣8,
把(m,1)代入y=﹣ 得m=﹣8,
故選D.
8.如圖,⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E,且CE=2,OB=4,則AB的長(zhǎng)為( )
A.2 B.4 C.6 D.4
【考點(diǎn)】垂徑定理;勾股定理.
【分析】先根據(jù)垂徑定理得出AB=2BE,再由CE=2,OB=4得出OE的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E,
∴AB=2BE.
∵CE=2,OB=4,
∴OE=4﹣2=2,
∴BE= = =2 ,
∴AB=4 .
故選D.
9.如圖,AB為⊙O的直徑,PD是⊙O的切線,點(diǎn)C為切點(diǎn),PD與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D,連接AC,若∠D=2∠CAD,CD=2,則BD的長(zhǎng)為( )
A.2 ﹣2 B.2﹣ C.2 ﹣1 D. ﹣1
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì).
【分析】直接利用切線的性質(zhì)得出∠OCD=90°,進(jìn)而利用三角形外角的性質(zhì)得出∠D=∠COD,再利用勾股定理得出DO的長(zhǎng),即可得出答案.
【解答】解:連接CO,
∵PD是⊙O的切線,點(diǎn)C為切點(diǎn),
∴∠OCD=90°,
∵AO=CO,
∴∠OAC=∠ACO,
∴∠COD=2∠CAD,
∵∠D=2∠CAD,
∴∠COD=∠D,
∴CO=DO=2,
∴DO=2 ,
∴BD=2 ﹣2.
故選:A.
10.如圖, 是半圓,連接AB,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),點(diǎn)C、D在 上,連接AD、CO、BC、BD、OD.若∠COD=62°,且AD∥OC,則∠ABD的大小是( )
A.26° B.28° C.30° D.32°
【考點(diǎn)】圓周角定理;圓心角、弧、弦的關(guān)系.
【分析】由圓周角定理求出∠ADB=90°,由平行線的性質(zhì)得出∠A=∠COD=62°,再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果.
【解答】解:∵AB是半圓的直徑,
∴∠ADB=90°,
∵AD∥OC,
∴∠A=∠COD=62°,
∴∠ABD=90°﹣∠A=28°;
故選:B.
11.在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax+b與y=ax2﹣bx的圖象可能是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象.
【分析】首先根據(jù)圖形中給出的一次函數(shù)圖象確定a、b的符號(hào),進(jìn)而運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷圖形中給出的二次函數(shù)的圖象是否符合題意,根據(jù)選項(xiàng)逐一討論解析,即可解決問(wèn)題.
【解答】解:A、對(duì)于直線y=ax+b來(lái)說(shuō),由圖象可以判斷,a>0,b>0;而對(duì)于拋物線y=ax2﹣bx來(lái)說(shuō),對(duì)稱軸x= >0,應(yīng)在y軸的右側(cè),故不合題意,圖形錯(cuò)誤;
B、對(duì)于直線y=ax+b來(lái)說(shuō),由圖象可以判斷,a<0,b>0;而對(duì)于拋物線y=ax2﹣bx來(lái)說(shuō),對(duì)稱軸x= <0,應(yīng)在y軸的左側(cè),故不合題意,圖形錯(cuò)誤;
C、對(duì)于直線y=ax+b來(lái)說(shuō),由圖象可以判斷,a>0,b>0;而對(duì)于拋物線y=ax2﹣bx來(lái)說(shuō),圖象開口向上,對(duì)稱軸x= >0,應(yīng)在y軸的右側(cè),故符合題意;
D、對(duì)于直線y=ax+b來(lái)說(shuō),由圖象可以判斷,a>0,b>0;而對(duì)于拋物線y=ax2﹣bx來(lái)說(shuō),圖象開口向下,a<0,故不合題意,圖形錯(cuò)誤;
故選:C.
12.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列結(jié)論:①abc>0;②a+b+c>0;③a﹣b+c<0;其中正確的結(jié)論有( )
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】利用圖象所給信息,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),判斷出a、b、c的符號(hào),再將x=1,和x=﹣1分別代入解析式,即可判斷出a+b+c與a﹣b+c的符號(hào).
【解答】解:①∵拋物線開口向下,
∴a<0,
又∵﹣ >0
∴b>0,
又∵函數(shù)圖象與y軸交于正半軸,
∴c>0,
∴abc<0.
?、趯=1代入解析式,得y=a+b+c,由于y>0,
∴a+b+c>0;
?、蹖=﹣1代入解析式,得y=a﹣b+c,由于y<0,
∴a﹣b+c<0.
可見(jiàn),②③均正確.
故選C.
二、填空(6小題,共24分)
13.已知函數(shù)y=(m+1) 是反比例函數(shù),則m的值為 1 .
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義知m2﹣2=﹣1,且m+1≠0,據(jù)此可以求得m的值.
【解答】解:∵y=(m+1)xm2﹣2是反比例函數(shù),
∴m2﹣2=﹣1,且m+1≠0,
∴m=±1,且m≠﹣1,
∴m=1;
故答案是:1.
14.若拋物線y=x2+mx+9的對(duì)稱軸是直線x=4,則m的值為 ﹣8 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=﹣ ,根據(jù)對(duì)稱軸公式可求m的值.
【解答】解:∵a=1,b=m,
根據(jù)對(duì)稱軸公式得:﹣ =﹣ =4,
解得m=﹣8.
故答案為:﹣8.
15.已知x=﹣1是方程x2﹣ax+6=0的一個(gè)根,則a= ﹣7 ,另一個(gè)根為 ﹣6 .
【考點(diǎn)】一元二次方程的解;根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】可將該方程的已知根﹣1代入兩根之積公式和兩根之和公式列出方程組,解方程組即可求出a值和方程的另一根.
【解答】解:設(shè)方程的也另一根為x1,又∵x=﹣1是方程x2﹣ax+6=0的一個(gè)根,
∴ 解得x1=﹣6,a=﹣7.
16.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“﹡”,其規(guī)則為a﹡b=a2﹣b2,根據(jù)這個(gè)規(guī)則,方程(x+1)﹡3=0的解為 x1=2,x2=﹣4 .
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣直接開平方法.
【分析】先根據(jù)新定義得到(x+1)2﹣32=0,再移項(xiàng)得(x+1)2=9,然后利用直接開平方法求解.
【解答】解:∵(x+1)﹡3=0,
∴(x+1)2﹣32=0,
∴(x+1)2=9,
x+1=±3,
所以x1=2,x2=﹣4.
故答案為x1=2,x2=﹣4.
17.有兩組撲克牌各三張,牌面數(shù)字分別為2,3,4,隨意從每組牌中抽取一張,數(shù)字和是6的概率是 .
【考點(diǎn)】概率公式.
【分析】列舉出所有情況,看所求的情況占總情況的多少即可.
【解答】解:每組各有3張牌,那么共有3×3=9種情況,
數(shù)字之和等于6的有(2,4)(3,3),(4,2)3種情況,
那么數(shù)字和是6的概率是 .
18.如圖,在扇形AOB中,∠AOB=90°,半徑OA=6,將扇形AOB沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊,點(diǎn)O恰好落在弧AB上點(diǎn)D處,折痕交OA于點(diǎn)C,整個(gè)陰影部分的面積 9π﹣12 .
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題);扇形面積的計(jì)算.
【分析】首先連接OD,由折疊的性質(zhì),可得CD=CO,BD=BO,∠DBC=∠OBC,則可得△OBD是等邊三角形,繼而求得OC的長(zhǎng),即可求得△OBC與△BCD的面積,又在扇形OAB中,∠AOB=90°,半徑OA=6,即可求得扇形OAB的面積,繼而求得陰影部分面積.
【解答】解:連接OD.
根據(jù)折疊的性質(zhì),CD=CO,BD=BO,∠DBC=∠OBC,
∴OB=OD=BD,
即△OBD是等邊三角形,
∴∠DBO=60°,
∴∠CBO= ∠DBO=30°,
∵∠AOB=90°,
∴OC=OB•tan∠CBO=6× =2 ,
∴S△BDC=S△OBC= ×OB×OC= ×6×2 =6 ,S扇形AOB= π×62=9π,
∴整個(gè)陰影部分的面積為:S扇形AOB﹣S△BDC﹣S△OBC=9π﹣6 ﹣6 =9π﹣12 .
故答案為:9π﹣12 .
三、解答題(本題共9小題,共90分)
19.解方程:x﹣3=x(x﹣3)
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】方程左右兩邊都含有(x﹣3),可將(x﹣3)看作一個(gè)整體,然后移項(xiàng),再用因式分解法求解.
【解答】解:原方程可化為:(x﹣3)﹣x(x﹣3)=0,
(x﹣3)(1﹣x)=0,
解得:x1=1,x2=3.
20.已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),且其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣2,﹣5),求此二次函數(shù)的解析式.
【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.
【分析】已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為y=a(x﹣1)2+4(a≠0),將點(diǎn)(﹣2,﹣5)代入求a即可.
【解答】解:設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=a(x﹣1)2+4(a≠0).
∵其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣2,﹣5),
∴a(﹣2﹣1)2+4=﹣5,
∴a=﹣1,
∴y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3.
21.如果關(guān)于x的函數(shù)y=ax2+(a+2)x+a+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】分類討論:當(dāng)a=0時(shí),原函數(shù)化為一次函數(shù),而已次函數(shù)與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)a≠0時(shí),函數(shù)y=ax2+(a+2)x+a+1為二次函數(shù),根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題,當(dāng)△=(a+2)2﹣4a(a+1)=0時(shí),它的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn),然后解關(guān)于a的一元二次方程得到a的值,最后綜合兩種情況即可得到實(shí)數(shù)a的值.
【解答】解:當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)解析式化為y=2x+1,此一次函數(shù)與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)a≠0時(shí),函數(shù)y=ax2+(a+2)x+a+1為二次函數(shù),當(dāng)△=(a+2)2﹣4a(a+1)=0時(shí),它的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn),
整理得3a2﹣4=0,解得a=± ,
綜上所述,實(shí)數(shù)a的值為0或± .
22.不透明的口袋里裝有白、黃、藍(lán)三種顏色的乒乓球(除顏色外其余都相同),其中白球有2個(gè),黃球有1個(gè),現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)是白球的概率為 .
(1)試求袋中藍(lán)球的個(gè)數(shù);
(2)第一次任意摸一個(gè)球(不放回),第二次再摸一個(gè)球,請(qǐng)用畫樹狀圖或列表格法,求兩次摸到都是白球的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法;概率公式.
【分析】(1)考查了概率中的求法,解題時(shí)注意采用方程的方法比較簡(jiǎn)單;
(2)采用列表法或樹狀圖法,解題時(shí)要注意是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn).
【解答】解:(1)設(shè)藍(lán)球個(gè)數(shù)為x個(gè),
則由題意得 ,
x=1,
答:藍(lán)球有1個(gè);
(2)
∴兩次摸到都是白球的概率= = .
23.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),△AOB為頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(0,4),B(﹣3,0),按要求解答下列問(wèn)題.
(1)在圖中,先將△AOB向上平移6個(gè)單位,再向右平移3個(gè)單位,畫出平移后的△A1O1B1;(其中點(diǎn)A,O,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1,O1,B1)
(2)在圖中,將△A1O1B1繞點(diǎn)O1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△A2O1B2;(其中點(diǎn)A1,B1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A2,B2)
(3)直接寫出點(diǎn)A2,B2的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換;作圖﹣平移變換.
【分析】(1)利用平移的性質(zhì)寫出A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、O1、B1的坐標(biāo),然后描點(diǎn)即可得到△A1O1B1;
(2)利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),畫出點(diǎn)A1,B1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2,B2即可;
(3)根據(jù)所畫圖形,寫出點(diǎn)A2,B2的坐標(biāo).
【解答】解:(1)如圖,△A1O1B1為所作
(2)如圖,Rt△A2O1B2為所作;
(3)點(diǎn)A2,B2的坐標(biāo)分別為(7,6),(3,9).
24.已知圖中的曲線是反比例函數(shù)y= (m為常數(shù),m≠5)圖象的一支.
(Ⅰ)這個(gè)反比例函數(shù)圖象的另一支在第幾象限?常數(shù)m的取值范圍是什么;
(Ⅱ)若該函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象在第一象內(nèi)限的交點(diǎn)為A,過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線,垂足為B,當(dāng)△OAB的面積為4時(shí),求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì);反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義;待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式.
【分析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可求得比例函數(shù)的圖象分布在第一、第三象限,所以m﹣5>0即可求解;
(2)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S= |k|,可利用△OAB的面積求出k值.
【解答】解:(Ⅰ)這個(gè)反比例函數(shù)圖象的另一支在第三象限.
∵這個(gè)反比例函數(shù)的圖象分布在第一、第三象限,
∴m﹣5>0,
∴m>5.
(Ⅱ)如圖,由第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在正比例函數(shù)y=2x的圖象上,
設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a,
∵點(diǎn)A在y=2x上,
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2a,
而AB⊥x軸,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,0)
∵S△OAB=4,
∴ a•2a=4,解得a=2或﹣2(負(fù)值舍去)
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4).
又∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y= 的圖象上,
∴4= ,即m﹣5=8.
∴反比例函數(shù)的解析式為y= .
25.隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高及汽車產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展,汽車已越來(lái)越多地進(jìn)入普通家庭,成為居民消費(fèi)新的增長(zhǎng)點(diǎn).據(jù)某市交通部門統(tǒng)計(jì),2007年底全市汽車擁有量為150萬(wàn)輛,而截止到2009年底,全市的汽車擁有量已達(dá)216萬(wàn)輛.
(1)求2007年底至2009年底該市汽車擁有量的年平均增長(zhǎng)率;
(2)為保護(hù)城市環(huán)境,緩解汽車擁堵狀況,該市交通部門擬控制汽車總量,要求到2011年底全市汽車擁有量不超過(guò)231.96萬(wàn)輛;另?yè)?jù)估計(jì),從2010年初起,該市此后每年報(bào)廢的汽車數(shù)量是上年底汽車擁有量的10%.假定每年新增汽車數(shù)量相同,請(qǐng)你計(jì)算出該市每年新增汽車數(shù)量最多不能超過(guò)多少萬(wàn)輛?
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用;一元一次不等式的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)年平均增長(zhǎng)率x,根據(jù)等量關(guān)系“2007年底汽車擁有量×(1+年平均增長(zhǎng)率)×(1+年平均增長(zhǎng)率)”列出一元二次方程求得.
(2)設(shè)出每年新增汽車的數(shù)量y,根據(jù)已知得出2009年報(bào)廢的車輛是2009年底擁有量×10%,推出2009年底汽車擁有量是2009年底擁有量﹣2009年報(bào)廢的車輛=2009年擁有量×(1﹣10%),得出等量關(guān)系是:【2009年擁有量×(1﹣10%)+新增汽車數(shù)量]×(1﹣10%)+新增汽車數(shù)量”,列出一元一次不等式求得.
【解答】解:(1)設(shè)該市汽車擁有量的年平均增長(zhǎng)率為x.
根據(jù)題意,得150(1+x)2=216,
則1+x=±1.2,
解得x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合題意,舍去).
答:該市汽車擁有量的年平均增長(zhǎng)率為20%.
(2)設(shè)全市每年新增汽車數(shù)量為y萬(wàn)輛,則2010年底全市的汽車擁有量為萬(wàn)輛,2011年底全市的汽車擁有量為[×90%+y]萬(wàn)輛.
根據(jù)題意得×90%+y≤231.96,
解得y≤30.
答:該市每年新增汽車數(shù)量最多不能超過(guò)30萬(wàn)輛.
26.在▱ABCD中,AB=10,∠ABC=60°,以AB為直徑作⊙O,邊CD切⊙O于點(diǎn)E.
(1)圓心O到CD的距離是 5 .
(2)求由弧AE、線段AD、DE所圍成的陰影部分的面積.(結(jié)果保留π和根號(hào))
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì);扇形面積的計(jì)算.
【分析】(1)連接OE,則OE的長(zhǎng)就是所求的量;
(2)陰影部分的面積等于梯形OADE的面積與扇形OAE的面積的差.
【解答】解:(1)連接OE.
∵邊CD切⊙O于點(diǎn)E.
∴OE⊥CD
則OE就是圓心O到CD的距離,則圓心O到CD的距離是 ×AB=5.
故答案是:5;
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形.
∴∠C=∠DAB=180°﹣∠ABC=120°,
∴∠BOE=360°﹣90°﹣60°﹣120°=90°,
∴∠AOE=90°,
作EF∥CB,∴∠OFE=∠ABC=60°,
在直角三角形OEF中,OE=5,
∴OF=OE•tan30°= .EC=BF=5﹣ .
則DE=10﹣5+ =5+ ,
則直角梯形OADE的面積是: (OA+DE)×OE= (5+5+ )×5=25+ .
扇形OAE的面積是: = .
則陰影部分的面積是:25+ ﹣ .
27.閱讀探索:“任意給定一個(gè)矩形A,是否存在另一個(gè)矩形B,它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的一半?”(完成下列空格)
(1)當(dāng)已知矩形A的邊長(zhǎng)分別為6和1時(shí),小亮同學(xué)是這樣研究的:
設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y,由題意得方程組: ,消去y化簡(jiǎn)得:2x2﹣7x+6=0,
∵△=49﹣48>0,∴x1= 2 ,x2= ,
∴滿足要求的矩形B存在.
(2)如果已知矩形A的邊長(zhǎng)分別為2和1,請(qǐng)你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B.
(3)如果矩形A的邊長(zhǎng)為m和n,請(qǐng)你研究滿足什么條件時(shí),矩形B存在?
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】(1)直接利用求根公式計(jì)算即可;
(2)參照(1)中的解法解題即可;
(3)解法同上,利用根的判別式列不等關(guān)系可求m,n滿足的條件.
【解答】解:(1)由上可知
(x﹣2)(2x﹣3)=0
∴x1=2,x2= ;
(2)設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y,由題意,得
消去y化簡(jiǎn),得
2x2﹣3x+2=0
∵△=9﹣16<0
∴不存在矩形B;
(3)(m+n)2﹣8mn≥0.
設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y,由題意,得
消去y化簡(jiǎn),得
2x2﹣(m+n)x+mn=0
△=(m+n)2﹣8mn≥0
即(m+n)2﹣8mn≥0時(shí),滿足要求的矩形B存在.