高中數(shù)學(xué)數(shù)列基礎(chǔ)知識

時間：2017-04-17 12:06:33 芷瓊1026由分享

　　數(shù)列(sequence of number)是以正整數(shù)集(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)。下面是學(xué)習(xí)啦小編為你整理的高中數(shù)學(xué)數(shù)列基礎(chǔ)知識，一起來看看吧。

　　高中數(shù)學(xué)數(shù)列基礎(chǔ)知識：等差數(shù)列

　　定義

　　一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列(arithmetic sequence)，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差(common difference)，公差通常用字母d表示，前n項和用Sn表示。等差數(shù)列可以縮寫為A.P.(Arithmetic Progression)。

　　通項公式

　　an=a1+(n-1)d

　　n=1時 a1=S1

　　n≥2時 an=Sn-Sn-1

　　an=kn+b(k,b為常數(shù)) 推導(dǎo)過程：an=dn+a1-d 令d=k，a1-d=b 則得到an=kn+b

　　等差中項

　　由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以堪稱最簡單的等差數(shù)列。這時，A叫做a與b的等差中項(arithmetic mean)。

　　有關(guān)系：A=(a+b)÷2

　　前n項和

　　倒序相加法推導(dǎo)前n項和公式：

　　Sn=a1+a2+a3 +·····+an

　　=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①

　　Sn=an+an-1+an-2+······+a1

　　=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②

　　由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個)=n(a1+an)

　　∴Sn=n(a1+an)÷2

　　等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半：

　　Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

　　Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

　　亦可得

　　a1=2sn÷n-an

　　an=2sn÷n-a1

　　有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

　　性質(zhì)

　　一、任意兩項am，an的關(guān)系為：

　　an=am+(n-m)d

　　它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。

　　二、從等差數(shù)列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：

　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N*

　　三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有

　　am+an=ap+aq

　　四、對任意的k∈N*，有

　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差數(shù)列。

　　高中數(shù)學(xué)數(shù)列基礎(chǔ)知識：等比數(shù)列

　　定義

　　一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列(geometric sequence)。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示。

　　縮寫

　　等比數(shù)列可以縮寫為G.P.(Geometric Progression)。

　　等比中項

　　如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項。

　　通項公式

　　an=a1*q^(n-1) (其中首項是a1 ，公比是q)

　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)

　　前n項和

　　當(dāng)q≠1時，等比數(shù)列的前n項和的公式為

　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1*q^n)/(1-q) (q≠1)

　　當(dāng)q=1時，等比數(shù)列的前n項和的公式為

　　Sn=na1

　　前n項和與通項的關(guān)系

　　an=a1=s1(n=1)

　　an=sn-s(n-1)(n≥2)

　　性質(zhì)

　　(1)若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq;

　　(2)在等比數(shù)列中，依次每 k項之和仍成等比數(shù)列。

　　(3)從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}

　　(4)等比中項：q、r、p成等差數(shù)列，則aq·ap=ar²，ar則為ap，aq等比中項。

　　記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底對數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列;反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。

　　(5) 等比數(shù)列前n項之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

　　(6)任意兩項am，an的關(guān)系為an=am·q^(n-m)

　　(7)在等比數(shù)列中，首項a1與公比q都不為零。

　　注意：上述公式中a^n表示a的n次方。