高二數(shù)學(xué)選修2－1知識(shí)點(diǎn)
高中的數(shù)學(xué)有選修，雖然是選修，但是高考還是會(huì)考的，所以我們還是得學(xué)好這部分內(nèi)容。小編整理了相關(guān)資料，希望能幫助到您。
1、命題：用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.
真命題：判斷為真的語句.
假命題：判斷為假的語句.
2、“若，則”形式的命題中的稱為命題的條件，稱為命題的結(jié)論.
3、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，則這兩個(gè)命題稱為互逆命題.其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆命題.
若原命題為“若，則”，它的逆命題為“若，則”.
4、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個(gè)命題稱為互否命題.中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的否命題.
若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”.
5、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個(gè)命題稱為互為逆否命題.其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆否命題.
若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”.
6、四種命題的真假性：
| 原命題 | 逆命題 | 否命題 | 逆否命題 |
| 真 | 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 | 真 |
| 假 | 真 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 假 | 假 |
四種命題的真假性之間的關(guān)系：
兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性;
兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.
7、若，則是的充分條件，是的必要條件.
若，則是的充要條件(充分必要條件).
8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題和命題聯(lián)結(jié)起來，得到一個(gè)新命題，記作.
當(dāng)、都是真命題時(shí)，是真命題;當(dāng)、兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題時(shí)，是假命題.
用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題和命題聯(lián)結(jié)起來，得到一個(gè)新命題，記作.
當(dāng)、兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí)，是真命題;當(dāng)、兩個(gè)命題都是假命題時(shí)，是假命題.
對(duì)一個(gè)命題全盤否定，得到一個(gè)新命題，記作.
若是真命題，則必是假命題;若是假命題，則必是真命題.
9、短語“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示.
含有全稱量詞的命題稱為全稱命題.
全稱命題“對(duì)中任意一個(gè)，有成立”，記作“，”.
短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示.
含有存在量詞的命題稱為特稱命題.
特稱命題“存在中的一個(gè)，使成立”，記作“，”.
10、全稱命題：，，它的否定：，.全稱命題的否定是特稱命題.
11、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距.
12、橢圓的幾何性質(zhì)：
| 焦點(diǎn)的位置 | 焦點(diǎn)在軸上 | 焦點(diǎn)在軸上 |
| 圖形 |
|
|
| 標(biāo)準(zhǔn)方程 | ||
| 范圍 | 且 | 且 |
| 頂點(diǎn) | 、 、 | 、 、 |
| 軸長(zhǎng) | 短軸的長(zhǎng) 長(zhǎng)軸的長(zhǎng) | |
| 焦點(diǎn) | 、 | 、 |
| 焦距 | ||
| 對(duì)稱性 | 關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對(duì)稱 | |
| 離心率 | ||
| 準(zhǔn)線方程 #FormatImgID_3#
| ||
13、設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則.
14、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距.
15、雙曲線的幾何性質(zhì)：
| 焦點(diǎn)的位置 | 焦點(diǎn)在軸上 | 焦點(diǎn)在軸上 |
| 圖形 |
|
|
| 標(biāo)準(zhǔn)方程 | ||
| 范圍 | 或， | 或， |
| 頂點(diǎn) | 、 | 、 |
| 軸長(zhǎng) | 虛軸的長(zhǎng) 實(shí)軸的長(zhǎng) | |
| 焦點(diǎn) | 、 | 、 |
| 焦距 | ||
| 對(duì)稱性 | 關(guān)于軸、軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱 | |
| 離心率 | ||
| 準(zhǔn)線方程 | ||
| 漸近線方程 | ||
16、實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線.
17、設(shè)是雙曲線上任一點(diǎn)，點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則.
18、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線.定點(diǎn)稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線稱為拋物線的準(zhǔn)線.
19、過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸且交拋物線于、兩點(diǎn)的線段，稱為拋物線的“通徑”，即.
20、焦半徑公式：
若點(diǎn)在拋物線上，焦點(diǎn)為，則;
若點(diǎn)在拋物線上，焦點(diǎn)為，則;
若點(diǎn)在拋物線上，焦點(diǎn)為，則;
若點(diǎn)在拋物線上，焦點(diǎn)為，則.
21、拋物線的幾何性質(zhì)：
| 標(biāo)準(zhǔn)方程 | ||||
| 圖形 |
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| 頂點(diǎn) | ||||
| 對(duì)稱軸 | 軸 | 軸 | ||
| 焦點(diǎn) | ||||
| 準(zhǔn)線方程 | ||||
| 離心率 | ||||
| 范圍
| ||||
22、空間向量的概念：
在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量.
向量可用一條有向線段來表示.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.
向量的大小稱為向量的模(或長(zhǎng)度)，記作.
模(或長(zhǎng)度)為的向量稱為零向量;模為的向量稱為單位向量.
與向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱為的相反向量，記作.
方向相同且模相等的向量稱為相等向量.
23、空間向量的加法和減法：
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則.即：在空間以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點(diǎn)的對(duì)角線就是與的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則.
求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱為向量的減法，它遵循三角形法則.即：在空間任取一點(diǎn)，作，，則.
24、實(shí)數(shù)與空間向量的乘積是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.當(dāng)時(shí)，與方向相同;當(dāng)時(shí)，與方向相反;當(dāng)時(shí)，為零向量，記為.的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍.
25、設(shè)，為實(shí)數(shù)，，是空間任意兩個(gè)向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律.
分配律：;結(jié)合律：.
26、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線.
27、向量共線的充要條件：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使.
28、平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向量.
29、向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，，使;或?qū)臻g任一定點(diǎn)，有;或若四點(diǎn)，，，共面，則.
30、已知兩個(gè)非零向量和，在空間任取一點(diǎn)，作，，則稱為向量，的夾角，記作.兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：.
31、對(duì)于兩個(gè)非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作.
32、已知兩個(gè)非零向量和，則稱為，的數(shù)量積，記作.即.零向量與任何向量的數(shù)量積為.
33、等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積.
34、若，為非零向量，為單位向量，則有;
;，，;
;.
35、向量數(shù)乘積的運(yùn)算律：;;
.
36、若，，是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，則對(duì)空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得，稱，，為向量在，，上的分量.
37、空間向量基本定理：若三個(gè)向量，，不共面，則對(duì)空間任一向量，存在實(shí)數(shù)組，使得.
38、若三個(gè)向量，，不共面，則所有空間向量組成的集合是
.這個(gè)集合可看作是由向量，，生成的，
稱為空間的一個(gè)基底，，，稱為基向量.空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.
39、設(shè)，，為有公共起點(diǎn)的三個(gè)兩兩垂直的單位向量(稱它們?yōu)閱挝徽换?，以，，的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則對(duì)于空間任意一個(gè)向量，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，得到向量.存在有序?qū)崝?shù)組，使得.把，，稱作向量在單位正交基底，，下的坐標(biāo)，記作.此時(shí)，向量的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo).
40、設(shè)，，則.
.
.
若、為非零向量，則.
若，則.
.
.
，，則.
41、在空間中，取一定點(diǎn)作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)的位置可以用向量來表示.向量稱為點(diǎn)的位置向量.
42、空間中任意一條直線的位置可以由上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)定方向確定.點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，向量表示直線的方向向量，則對(duì)于直線上的任意一點(diǎn)，有，這樣點(diǎn)和向量不僅可以確定直線的位置，還可以具體表示出直線上的任意一點(diǎn).
43、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定.設(shè)這兩條相交直線相交于點(diǎn)，它們的方向向量分別為，.為平面上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，這樣點(diǎn)與向量，就確定了平面的位置.
44、直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量.
45、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，，則
，.
46、若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則
，.
47、若空間不重合的兩個(gè)平面，的法向量分別為，，則
，.
48、設(shè)異面直線，的夾角為，方向向量為，，其夾角為，則有
.
49、設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，與所成的角為，與的夾角為，則有.
50、設(shè)，是二面角的兩個(gè)面，的法向量，則向量，的夾角(或其補(bǔ)角)就是二面角的平面角的大小.若二面角的平面角為，則.
51、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)向量的模計(jì)算.
52、在直線上找一點(diǎn)，過定點(diǎn)且垂直于直線的向量為，則定點(diǎn)到直線的距離為.
53、點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為.
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