高三理科數學上學期期末試卷
數學有很多的同學會說很難，其實難在哪里我們要找到原因，小編今天下面就給大家整理高三數學，希望大家多多參考一下
上學期高三數學理科期末試題
一、選擇題(本大題共8小題，共40.0分)
1.若集合A={x|-2
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用交集運算得答案.
【詳解】∵集合 表示 到0的所有實數，
集合 表示5個整數的集合，∴ ，
故選C.
【點睛】本題主要考查了交集的概念及其運算，是基礎題.
2.下列復數為純虛數的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用復數的運算對每個選項逐一求解即可得答案.
【詳解】∵ ， ， ， ，
∴為純虛數的是 ，故選D.
【點睛】本題主要考查了復數的基本運算及基本概念，是基礎題
3.下列函數中，是奇函數且存在零點的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函數的奇偶性及函數的零點可判斷 為奇函數，且存在零點為 ， 為非奇非偶函數， 為偶函數， 不存在零點，故得解.
【詳解】對于選項A： 為奇函數，且存在零點為x=0，與題意相符;
對于選項B： 為非奇非偶函數，與題意不符;
對于選項C： 為偶函數，與題意不符;
對于選項D： 不存在零點，與題意不符，故選：A.
【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性及函數的零點，熟練掌握常見初等函數的性質是解題的關鍵，屬于簡單題.
4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入 ，則輸出 的等于( )
A. 3 B. 12 C. 60 D. 360
【答案】C
【解析】
【分析】
通過程序框圖，按照框圖中的要求將幾次的循環(huán)結果寫出，得到輸出的結果.
【詳解】模擬執(zhí)行程序，可得 ， ， ， ， ，
滿足條件 ，執(zhí)行循環(huán)體， ， ，
滿足條件 ，執(zhí)行循環(huán)體， ， ，
不滿足條件 ，退出循環(huán)，輸出 的值為60.
故選C.
【點睛】本題考查程序框圖的應用，解決程序框圖中的循環(huán)結構的輸出結果問題時，常采用寫出幾次的結果找規(guī)律，屬于基礎題.
5.“ ”是“函數 的圖像關于直線 對稱”的( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
根據三角函數的對稱性求出函數的對稱軸為 ，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.
【詳解】若函數 的圖象關于直線 ，則 ，得 ，
當 時， ，即“ ”是“函數 的圖象關于直線 對稱”的充分不必要條件，故選A.
【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合三角函數的對稱性求出 的取值范圍是解決本題的關鍵.
6.某三棱錐的三視圖如圖所示，在此三棱錐的六條棱中，最長棱的長度為( )
A. 2 B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
由三棱錐的三視圖知該三棱錐是三棱錐 ，其中 底面 ， ， ， ，由此能求出在該三棱錐中，最長的棱長.
【詳解】由三棱錐的三視圖知該三棱錐是如圖所示的三棱錐 ，
其中 底面 ， ， ， ，
∴ ，
∴在該三棱錐中，最長的棱長為 ，故選D.
【點睛】本題考查三棱錐中最長棱長的求法，考查三棱錐性質及其三視圖等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是基礎題.
7.在極坐標系中，下列方程為圓 的切線方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出圓的直角坐標方程為 ，圓心為 ，半徑 ，將每個選項分別利用直角坐標表示，根據直線與圓的位置關系能求出結果.
【詳解】圓 ，即 ，
∴圓的直角坐標方程為 ，即 ，圓心為 ，半徑 ，
在A中， 即 ，
圓心 到 的距離 ，故 不是圓的切線，故A錯誤;
在B中， 是圓，不是直線，故B錯誤;
在C中， 即 ，
圓心 到 的距離 ，故 是圓的切線，故C正確;
在D中， 即 ，
圓心 到 的距離 ，故 不是圓的切線，故D錯誤.
故選C.
【點睛】本題考查圓的切線方程的判斷，考查直角坐標方程、參數方程、極坐標方程的互化等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.
8.地震里氏震級是地震強度大小的一種度量.地震釋放的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關系為lgE=4.8+1.5M.已知兩次地震的里氏震級分別為8.0級和7.5級，若它們釋放的能量分別為E1和E2，則 的值所在的區(qū)間為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先把數據代入已知解析式，再利用對數的運算性質即可得出.
【詳解】 ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 的值所在的區(qū)間為 ，故選B.
【點睛】本題考查了對數的運用以及運算，熟練掌握對數的運算性質是解題的關鍵，屬于基礎題.
二、填空題(本大題共6小題，共30.0分)
9.若 滿足 ，則 的最小值為______.
【答案】4
【解析】
【分析】
作出不等式組 對應的平面區(qū)域，利用 的幾何意義即可得到結論.
【詳解】作出 ， 滿足 對應的平面區(qū)域，
由 ，得 ，平移直線 ，
由 ，解得
由圖象可知當直線經過點 時，直線 的截距最小，此時最小，
此時 ，故答案為4.
【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數的最值，屬簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：(1)作出可行域(一定要注意是實線還是虛線);(2)找到目標函數對應的最優(yōu)解對應點(在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標代入目標函數求出最值.
10.已知雙曲線 - =1的一個焦點為 ，則m=______.
【答案】3
【解析】
【分析】
由雙曲線的焦點坐標可得的值，列出關于 的方程，解出即可.
【詳解】雙曲線 的一個焦點為 ，即 ，
解得 ，故答案為3.
【點睛】本題主要考查雙曲線的標準方程，注意分析、 的關系，屬于基礎題.
11.若等差數列{an}和等比數列{bn}滿足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，試寫出一組滿足條件的數列{an}和{bn}的通項公式：an=______，bn=______.
【答案】 (1). -n (2). 2
【解析】
【分析】
設等差數列的公差為 ，等比數列的公比為 ，由等差數列和等比數列的通項公式，解方程可得 ， ，即可得到所求通項公式，注意答案不唯一.
【詳解】等差數列 的公差設為 ，等比數列 的公比設為 ，
， ， ，可得 ，
即為 ， 可取 ，可得 ，則 ， ，
故答案為 ，2.
【點睛】本題主要考查等差數列和等比數列的通項公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題.
12.在菱形ABCD中，若 ，則 的值為______.
【答案】
【解析】
【分析】
根據菱形的對角線互相垂直且平分，則 ，結合平面向量的數量積公式計算即可.
【詳解】菱形 中， ，由 可得
則 ，
故答案為 .
【點睛】本題考查了平面向量的數量積計算問題，由菱形的性質得到 是解題的關鍵，屬于基礎題.
13.函數 在區(qū)間 上的最大值為______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用兩角差的正弦與余弦公式化簡，根據 在 上，結合三角函數的性質可得最大值.
【詳解】函數
;
∵ ，∴當 時， 取得最大值為 ，
故答案為 .
【點睛】本題主要考查了兩角和與差公式的應用和計算能力，得到 是解題的關鍵，屬于基礎題.
14.已知函數f(x)為定義域為R，設Ff(x)= .
?、偃鬴(x)= ，則Ff(1)=______;
②若f(x)=ea-|x|-1，且對任意x∈R，Ff(x)=f(x)，則實數a的取值范圍為______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
?、偻ㄟ^ 的范圍，可得 ，代入可得所求值;②由題意可得 恒成立，運用絕對值不等式的性質和參數分離，以及函數的最值求法，可得的范圍.
【詳解】①若 ，由 ，可得 ，成立，即有 ，則 ;
②若 ，且對任意 ， ，可得 恒成立，即為 ，即有 ，可得 ，即 ，
由 的最小值為 ，則 ，故答案為 ， .
【點睛】本題主要考查分段函數的運用：求函數值和解析式，考查變形能力和轉化思想，注意運用參數分離和絕對值不等式的性質，將問題轉化為 恒成立是解決②的關鍵，屬于中檔題
三、解答題(本大題共6小題，共80.0分)
15.在△ABC中， .
(1)求∠B的大小;
(2)若△ABC的面積為a2，求cosA的值.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理可得 ，結合范圍 ，可求 的值;(2)利用三角形的面積公式可求的值，根據余弦定理可求 的值，進而可求 的值.
【詳解】(1)在△ABC中，由正弦定理可得： ，
所以： ，
又 ， .
(2)因為△ABC的面積為 ，
∴ 2 ，
由余弦定理， ，所以 .
.
【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題
16.某中學有學生500人，學校為了解學生的課外閱讀時間，從中隨機抽取了50名學生，獲得了他們某一個月課外閱讀時間的數據(單位：小時)，將數據分為5組：[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20]，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的x的值;
(2)試估計該校所有學生中，課外閱讀時間不小于16小時的學生人數;
(3)已知課外閱讀時間在[10，12)的樣本學生中有3名女生，現從閱讀時間在[10，12)的樣本學生中隨機抽取3人，記X為抽到女生的人數，求X的分布列與數學期望E(X).
【答案】(1)0.15;(2)150;(3)見解析
【解析】
【分析】
(1)利用頻率分布直方圖，通過概率和為1，即可求解 ;(2)利用分布直方圖求解即可;(3)隨機變量 的所有可能取值為0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望.
【詳解】(1)由 ，
可得 0.15
(2) ，
即課外閱讀時間不小于16個小時的學生樣本的頻率為0.30.500×0.30=150，
所以可估計該校所有學生中，課外閱讀時間不小于16個小時的學生人數為150.
(3)課外閱讀時間在[10，12)的學生樣本的頻率為0.08×2=0.16，50×0.16=8，即閱讀時間在[10，12)的學生樣本人數為8，8名學生為3名女生，5名男生，
隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3， ; ; ; .
所以X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
故 的期望
【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，頻率分布直方圖的應用，考查計算能力，屬于中檔題.
17.如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E，F分別為AD，BC的中點，AE=EF， .將四邊形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD(如圖2)，G是BF的中點.
(1)證明：AC⊥EG;
(2)在線段BC上是否存在一點H，使得DH∥平面ABFE?若存在，求 的值;若不存在，說明理由;
(3)求二面角D-AC-F的大小.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
【分析】
(1)推導出 ， ， ，從而 平面 ，進而 ，四邊形 為正方形， ，由此能證明 平面 ，從而 ;(2)由 ， ， 兩兩垂直，建立空間直角坐標系 ，由此利用向量法能求出在線段 上存在一點 ，使得 平面 ，并能求出 的值;(3)求出平面 的法向理和平面 的法向量，利用向量法能求出二面角 的大小.
【詳解】證明：(1)在圖1中， ，
可得△AEF為等腰直角三角形，AE⊥EF.
因為AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC.
因為平面ABFE⊥平面EFCD，且兩平面交于EF，CF⊂平面CDEF，
所以CF⊥平面ABFE.
又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG;
由G為中點，可知四邊形AEFG為正方形，所以AF⊥EG;
又AF∩FC=F，所以EG⊥平面AFC.又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG
(2)由(1)知：FE，FC，FB兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系F-xyz，
設FE=1，則F(0，0，0)，C(0，2，0)，B(0，0，2)，D(1，1，0).
設H是線段BC上一點， .
因此點 .
由(1)知 為平面ABFE的法向量， =(0，2，0)，
因為 平面ABFE，所以 平面 ，當且僅當 ，
即 ，解得 .
.
(3)設A(1，0，1)，E(1，0，0)，G(0，0，1).
由(1)可得， 是平面 的法向量， . ，
設平面ACD的法向量為n=(x，y，z)，
由 即
令x=1，則y=1，z=1.于是n=(1，1，1).
所以 .
所以二面角D-AC-F的大小為90°
【點睛】本題主要考查線線垂直的證明，考查滿足線面平行的點是否存在的判斷與求法，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.
18.已知函數f(x)=axex-x2-2x.
(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程;
(2)當x>0時，若曲線y=f(x)在直線y=-x的上方，求實數a的取值范圍.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)根據題意，求出函數的導數，由導數的幾何意義可得切線的斜率，求出切點的坐標，由直線的點斜式方程分析可得答案;(2)根據題意，原問題可以轉化為 恒成立，設 ，求出 的導數，由函數的導數與函數單調性的關系分析可得其最大值，分析可得答案.
【詳解】(1)當 時， ，其導數 ， .
又因為 ，
所以曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為 ;
(2)根據題意，當 時，
“曲線y=f(x)在直線 的上方”等價于“ 恒成立”，
又由x>0，則 ，
則原問題等價于 恒成立;
設 ，則 ，
又由 ，則 ，則函數 在區(qū)間 上遞減，
又由 ，則有 ，
若 恒成立，必有 ，
即的取值范圍為 .
【點睛】本題考查利用導數分析函數的切線方程以及最值，考查恒成立問題，正確分離參數是關鍵，也是常用的一種手段.通過分離參數可轉化為 或 恒成立，即 或 即可，利用導數知識結合單調性求出 或 即得解，屬于中檔題.
19.已知橢圓 過點P(2，1).
(1)求橢圓C的方程，并求其離心率;
(2)過點P作x軸的垂線l，設點A為第四象限內一點且在橢圓C上(點A不在直線l上)，點A關于l的對稱點為A'，直線A'P與C交于另一點B.設O為原點，判斷直線AB與直線OP的位置關系，并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
【分析】
(1)將點 代入橢圓方程，求出，結合離心率公式即可求得橢圓的離心率;(2)設直線 ， ，設點 的坐標為 ， ，分別求出 ， ，根據斜率公式，以及兩直線的位置關系與斜率的關系即可得結果.
【詳解】(1)由橢圓方程橢圓 過點P(2，1)，可得 .
所以 ，
所以橢圓C的方程為 + =1，離心率e= = ，
(2)直線AB與直線OP平行.證明如下：
設直線 ， ，
設點A的坐標為(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 得 ，
∴ ，∴
同理 ，所以 ，
由 ，
有 ，
因為A在第四象限，所以 ，且A不在直線OP上.
∴ ，
又 ，故 ，
所以直線 與直線 平行.
【點睛】本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了斜率和直線平行的關系，是中檔題.
20.對給定的d∈N*，記由數列構成的集合 .
(1)若數列{an}∈Ω(2)，寫出a3的所有可能取值;
(2)對于集合Ω(d)，若d≥2.求證：存在整數k，使得對Ω(d)中的任意數列{an}，整數k不是數列{an}中的項;
(3)已知數列{an}，{bn}∈Ω(d)，記{an}，{bn}的前n項和分別為An，Bn.若|an+1|≤|bn+1|，求證：An≤Bn.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析
【解析】
【分析】
(1)推導出 ， ， ， ，由此能求出 的所有可能取值;(2)先應用數學歸納法證明數列 ，則 具有 ，( )的形式，由此能證明取整數 ，則整數 均不是數列 中的項;(3)由 ，得： ，從而 ，由此利用累加法得 ，從而 ，同理 ，由此能證明 .
【詳解】(1)由于數列{an}∈Ω(2)，即d=2，a1=1.
由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=±3，
|a3|=|a2+d|=|a2+2|，
將a2=±3代入得a3的所有可能取值為-5，-1，1，5.
證明：(2)先應用數學歸納法證明數列：
若{an}∈Ω(d)，則an具有md±1，(m∈Z)的形式.
①當n=1時，a1=0•d+1，因此n=1時結論成立.
?、诩僭O當n=k(k∈N*)時結論成立，即存在整數m0，使得ak=m0d0±1成立.
當n=k+1時，|an+1|=|m0d0±1+d0|=|(m0+1)d0±1|，
ak+1=(m0+1)d±1，或ak+1=-(m0+1)±1，
所以當n=k+1時結論也成立.
由①②可知，若數列{an}∈Ω(d)對任意n∈N*，an具有md±1(m∈Z)的形式.
由于an具有md±1(m∈Z)的形式，以及d≥2，可得an不是d的整數倍.
故取整數k=d，則整數k均不是數列{an}中的項
(3)由|an+1|=|an+d|，可得： = ，
所以有 = +2and+d2，
= +2an-1d+d2，
，
…
= ，
以上各式相加可得 ，
即An= - ，同理Bn= - ，
當 時，有 ，
∵d∈N*，∴ ≤ ，
∴ ≤ - ，
∴
【點睛】本題考查數列的第 項的所有可能取值的求法，考查數列不等式的證明，考查數學歸納法、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是難題.
高三數學上學期期末試卷理科
一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.若復數滿足 ，則 ( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
設z=a+bi(a，b∈R)，利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數相等的條件列式求得a，b，則答案可求.
【詳解】設z=a+bi(a，b∈R)，
由z2=5+12i，得a2﹣b2+2abi=5+12i，
∴ ，解得 或 .
∴z=3+2i或z=﹣3﹣2i.
故選：A.
【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數相等的條件，是基礎題.
2.函數 的零點所在的區(qū)間是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由于連續(xù)函數f(x)滿足 f(1)<0，f(2)>0，從而得到函數y=x﹣4•( )x的零點所在區(qū)間.
【詳解】∵y=x﹣4•( )x為R上的連續(xù)函數，
且f(1)=1﹣2<0，f(2)=2﹣1>0，
∴f(1)•f(2)<0，
故函數y=x﹣4•( )x的零點所在區(qū)間為：(1，2)，
故選：B.
【點睛】本題主要考查函數的零點的定義，判斷函數的零點所在的區(qū)間的方法，屬于基礎題.
3.已知 是兩條不同的直線， 是兩個不同的平面，則 的一個充分條件是( )
A. ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】C
【解析】
【分析】
在A中，a與b相交、平行或異面;在C中，由線面垂直的性質可得a∥b;在B、D中，均可得a與b相交、平行或異面;
【詳解】由a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，
在A中， ， ，則a與b相交、平行或異面，故A錯誤;
在B中， ， ， ，則a與b相交、平行或異面，故B錯誤;
在C中，由a ， ，則 ，又 ，由線面垂直的性質可知 ，故C正確;
在D中， ， ， ，則a與b相交、平行或異面，故D錯誤.
故選：C.
【點睛】本題考查線線平行的充分條件的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，是中檔題.
4.定義運算 ，則函數 的圖像是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據新定義可得函數1⊕log2x就是取1與log2x中較大的一個即可判斷.
【詳解】從定義運算a⊕b 上看，對于任意的a、b，a⊕b實質上是求a與b中最大的，
∴1⊕log2x就是取1與log2x中較大的一個，
∴對于對數函數y=log2x，當x≥2，log2x≥1，∴當0
故選：C.
【點睛】本題主要考查新定義，求函數的最大值，屬于基礎題.
5. 的展開式中， 的系數是( )
A. -160 B. -120 C. 40 D. 200
【答案】B
【解析】
【分析】
將問題轉化為二項式(1﹣2x)5的展開式的系數問題，求出(1﹣2x)5展開式的通項，分別令r=2，3求出(1﹣2x)5(2+x)的展開式中x3項的系數.
【詳解】(1﹣2x)5(2+x)的展開式中x3項的系數是(1﹣2x)5展開式中x3項的系數的2倍與(1﹣2x)5展開式中x2項的系數的和
∵(1﹣2x)5展開式的通項為Tr+1=(﹣2)rC5rxr
令r=3得到x3項的系數為﹣8C53=﹣80
令r=2得到x2項的系數為4C52=40
所以(1﹣2x)5(2+x)的展開式中x3項的系數是﹣80×2+40=﹣120
故答案為：B
【點睛】解決二項展開式的特定項問題常利用的工具是二項展開式的通項公式.求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第 項，再由特定項的特點求出值即可;(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第 項，由特定項得出值，最后求出其參數.
6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A. 36 B. 32 C. 30 D. 27
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知中的三視圖，判斷該幾何體是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個以3為邊長的長方形，高為4，分別求出棱錐各個面的面積，進而可得答案.
【詳解】由已知中的該幾何體是一個四棱錐的幾何體，
四棱錐的底面為邊長為3和3的正方形，高為4，
故S四棱錐 4×3+ 5×3 5×3 4×3+3×3=36.
故選：A.
【點睛】本題考查的知識點是由三視圖求表面積，其中根據三視圖判斷出幾何體的形狀，并找出各個面的棱長、高等關鍵的數據是解答本題的關鍵.
7.若雙曲線 的一個焦點與拋物線 的焦點重合，則雙曲線 的離心率為( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出拋物線y2=8x的焦點坐標，由此得到雙曲線C： 1的一個焦點，從而求出a的值，進而得到該雙曲線的離心率.
【詳解】∵拋物線y2=8x的焦點是(2，0)，
雙曲線C： 1的一個焦點與拋物線y2=8x的焦點重合，
∴c=2，b2=3，m=1，
∴e 2.
故選：C.
【點睛】本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要拋物線的性質進行求解.
8.在 中，若 ， ( )，則當 最小時， ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知 可求 的坐標，然后結合向量數量積的坐標表示及二次函數的性質可求BC最小時的x，結合向量數量積的性質即可求解.
【詳解】∵ (1，2)， (﹣x，2x)(x>0)，
∴ (﹣x﹣1，2x﹣2)，
∴| |
令y=5x2﹣6x+5，x>0
根據二次函數的性質可知，當x ，ymin ，此時BC最小，
∴ ， ( ， )，
0，
∴ ，即C=90°，
故選：A.
【點睛】本題考查向量數量積的坐標表示，考查了二次函數的性質的簡單應用，考查運算求解能力，是基礎題.
9.已知函數 ，且圖像在點 處的切線的傾斜角為 ，則 的值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先對函數進行求導，求出f′(1)，然后根據導數的幾何意義求出切線斜率
k=f′(2)=tanα，然后根據誘導公式及同角基本關系可得sin( α)cos( α)=﹣cosαsinα ，代入可求.
【詳解】∵f(x)=x3+2x2f′(1)+2，
∴f′(x)=3x2+4xf′(1)，
∴f′(1)=3+4f′(1)，
即f′(1)=﹣1，f′(x)=3x2﹣4x，
∴圖象在點x=2處的切線的斜率k=f′(2)=4=tanα，
則sin( α)cos( α)
=﹣cosαsinα
，
故選：D.
【點睛】本題綜合考查了導數的幾何意義的應用，誘導公式及同角基本關系的綜合應用，屬于基礎知識的綜合應用.
10.已知 是 所在平面內一點， ，現將一粒紅豆隨機撒在 內，記紅豆落在 內的概率為 ，落在 內的概率為 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根據2 3 ，計算出△PAB，△PAC，△PBC面積的關系，求出概率，作積得答案.
【詳解】如圖，令 ， ， .
則P為△A1B1C1 的重心，
∴ ，
而 ， ， .
∴2S△PAB=3S△PAC=6S△PBC，
∴ ， ， .
則P△PBCP△PBAP△PAC .
故選：D.
【點睛】本題考查的知識點是幾何概型概率計算公式，計算出滿足條件和所有基本事件對應的幾何量，是解答的關鍵，難度中檔.
11.數列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2， ，其相鄰的兩個1被2隔開，第 對1之間有 個2，則數列的前209項的和為( )
A. 279 B. 289 C. 399 D. 409
【答案】C
【解析】
【分析】
根據題意，根據數列的性質，先把數列分組，每組中，第一個數為1，其他均為2，且第n組中，有n+1個數;得到209是前19行的和，進而得到所有項的和.
【詳解】根據題意，先把數列分組，
第一組為1，2，有2個數，
第二組為1，2，2，有3個數，
第三組為1，2，2，2，有4個數，
…
第n組中，第一個數為1，其他均為2，有n+1個數，即每組中，第一個數為1，其他均為2，則前n組共有 個數，
當n=19時，恰好前19行有209個數，
前19行有19個1，有209-19=190個2，則這些數的和為：19+
故答案為C.
【點睛】本題考查數列的求和，注意要先根據數列的規(guī)律進行分組，綜合運用等差數列前n項和公式與分組求和的方法，進行求和.
12.已知 且 ，則下列結論正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
將式子變形得到 ，因為余弦函數是偶函數，故 ，構造函數 ，通過求導得到函數的單調性，進而得到結果.
【詳解】 等價于 ,即 ，因為余弦函數是偶函數，故 ，構造函數 ，根據偶函數的定義f(x)=f(-x)得到函數是偶函數，而f(x)在 上， ，故函數單調增，又因為 ，故得到 .
故答案為：A.
【點睛】這個題目考查了函數奇偶性的應用，以及函數的單調性的應用，通過研究函數的這些性質來比較函數的大小;比較大小常用的方法，除構造函數，研究函數性質得到結果，常用的有：做差和0比，做商和1比，不等式性質的應用等.
二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)
13.已知集合 ， ，則 __________.(用區(qū)間表示)
【答案】(-1,0)
【解析】
【分析】
化簡集合N，根據補集與交集的定義寫出.
【詳解】M={x|﹣1
則?MN=(﹣1，0)，
故答案為：(﹣1，0).
【點睛】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎題.
14.元朝著名數學家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當原多少酒?”用程序框圖表達如圖所示，若最終輸出的x=0，則開始時輸入的x的值為____________
【答案】
【解析】
【分析】
求出對應的函數關系，由題輸出的結果的值為0，由此關系建立方程求出自變量的值即可.
【詳解】第一次輸入x=x，i=1
執(zhí)行循環(huán)體，x=2x﹣1，i=2，
執(zhí)行循環(huán)體，x=2(2x﹣1)﹣1=4x﹣3，i=3，
執(zhí)行循環(huán)體，x=2(4x﹣3)﹣1=8x﹣7，i=4>3，
輸出8x﹣7的值為0，解得：x ，
故答案為： .
【點睛】解答本題，關鍵是根據所給的框圖，得出函數關系，然后通過解方程求得輸入的值.本題是算法框圖考試常見的題型，其作題步驟是識圖得出函數關系，由此函數關系解題，得出答案.
15.設實數 滿足 ，若 的最大值為16，則實數 __________.
【答案】3
【解析】
【分析】
先畫出可行域，得到角點坐標.再對k進行分類討論，通過平移直線z=kx+y得到最大值點A，即可得到答案.
【詳解】實數x，y滿足 的可行域如圖：
得：A(4，4)，
同樣地，得B(0，2)，
z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k>0，k<0兩種情況.
當k>0時，
目標函數z=kx+y在A點取最大值，即直線z=kx+y在y軸上的截距z最大，即16=4k+4，得k=3;
當k<0時，
①當k 時，目標函數z=kx+y在A點(4，4)時取最大值，
即直線z=kx+y在y軸上的截距z最大，
此時，16=4k+4，
故k=3.
?、诋攌 時，目標函數z=kx+y在B點(0，2)時取最大值，
即直線z=kx+y在y軸上的截距z最大，
此時，16=0×k+2，
故k不存在.
綜上，k=3.
故答案為：3.
【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃.解決此類問題的關鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標函數賦予幾何意義.
16.已知過橢圓 上一點 的切線方程為 ，若分別交 軸于 兩點，則當 最小時， __________.( 為坐標原點)
【答案】
【解析】
【分析】
利用切線求得A、B兩點坐標，表示出 ，再利用 ，結合基本不等式求得 ，再利用 最小時的條件求得 ， ，即可求解.
【詳解】因為點 的切線方程為 ，若分別交 軸于 兩點，所以A( ，0)，B(0， )， = = ，
又 點P 在橢圓 上， 有 ，
= + ) ，當且僅當 = 時等號成立， ，
解得 ， ， = = ，
= .
故答案為 .
【點睛】本題以過橢圓上點的切線為載體，考查了利用基本不等式求最值及等號成立的條件，考查了邏輯推理及運算能力，屬于難題.
三、解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.在 中， 分別是內角 的對邊，且 .
(1)求 ;
(2)若 ， ，求 的面積.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)由已知利用正弦定理可得：a2=b2+c2+bc.由余弦定理可得：cosA ，結合范圍A∈(0，π)，可求A .
(2)由已知利用余弦定理c2+2c﹣5=0，解得c的值，利用三角形面積公式即可計算得解.
【詳解】(1)因為 ，
由正弦定理得 .
再由余弦定理得 ，
又因為 ，所以 .
(2)因為a=3， ，
代入 得 ,
解得 .
故△ABC的面積 .
【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題.
18.設 ， ， ，數列 的前 項和 ，點 ( )均在函數 的圖像上.
(1)求數列 的通項公式;
(2)設 ， 是數列 的前 項和，求滿足 ( )的最大正整數 .
【答案】(1)an=6n-5 ( ) (2)8
【解析】
【分析】
(1)根據f(x)=3x2﹣2x，由(n，Sn)在y=3x2﹣2x上，知Sn=3n2﹣2n.由此能求出數列{an}的通項公式.
(2)由 ，知Tn (1- )，根據 ( )對 恒成立,當且僅當 ，由此能求出所有n∈N*都成立的m的范圍.
【詳解】(1)因為 =3x2-2x.
又因為點 均在函數 的圖像上，所以 =3n2-2n.
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- =6n-5.
當n=1時，a1=S1=3×12-2=1，所以，an=6n-5 ( ).
(2)由(1)得知 = ，
故Tn= =
= (1- )，且Tn隨著n的增大而增大
因此，要使 (1- ) ( )對 恒成立,當且僅當n=1時T1= ，
即m<9，所以滿足要求的最大正整數m為8.
【點睛】本題考查數列與不等式的綜合，綜合性強，難度較大.易錯點是基礎知識不牢固，不會運用數列知識進行等價轉化轉化.解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件.
19.如圖，正三棱柱 中，(底面為正三角形，側棱垂直于底面)，側棱長 ，底面邊長 ， 是 的中點.
(1)求證：平面 平面 ;
(2)設 是線段 的中點，求直線 與平面 所成的角的正弦值.
【答案】(1) 見解析(2)
【解析】
【分析】
(1)通過做平行線構造平行四邊形，進而得到線面垂直，再由平形四邊行的對邊平行的性質得到平面 內的線垂直于平面 內的線，進而得到面面垂直;(2)建立空間坐標系，求直線 的方向向量和面 的法向量，進而得到線面角.
【詳解】(1)證明：取 中點 ， 的中點為M，連結 ，MN,則有 ∥ 且 = ∴四邊形 為平行四邊形， ∥
∵ 面 ,
∴ ,又
∴ 平面 故 ⊥平面 .
所以平面 平面
(2)如圖建立空間直角坐標系，則B(- ,0,0),A( ,0,0),
因為 是線段 的中點，所以M
所以
設 是平面 的一個法向量，因為
所以，由
所以可取
【點睛】這個題目考查了面面垂直的證明，以及線面角的求法，求線面角，一是可以利用等體積計算出直線的端點到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值;還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可。
20.為了積極支持雄安新區(qū)建設，某投資公司計劃明年投資1000萬元給雄安新區(qū)甲、乙兩家科技企業(yè)，以支持其創(chuàng)新研發(fā)計劃，經有關部門測算，若不受中美貿易戰(zhàn)影響的話，每投入100萬元資金，在甲企業(yè)可獲利150萬元，若遭受貿易戰(zhàn)影響的話，則將損失50萬元;同樣的情況，在乙企業(yè)可獲利100萬元，否則將損失20萬元，假設甲、乙兩企業(yè)遭受貿易戰(zhàn)影響的概率分別為0.6和0.5.
(1)若在甲、乙兩企業(yè)分別投資500萬元，求獲利1250萬元的概率;
(2)若在兩企業(yè)的投資額相差不超過300萬元，求該投資公司明年獲利約在什么范圍內?
【答案】(1)0.2 (2)其獲利區(qū)間范圍為335與365萬元之間
【解析】
【分析】
(1)由已知條件可知，在甲、乙兩公司分別投資500萬元的情況下欲獲利1250萬元，須且必須兩公司均不遭受貿易戰(zhàn)的影響，故可列出式子即可;(2)先求得投資100萬元在甲公司獲利的期望30萬，乙為40萬，設在甲、乙兩公司的投資分別為x,(1000-x)萬元，則平均獲利z=0.3x+0.4(1000-x)=400-0.1x萬元，根據x的范圍可得到z的范圍.
【詳解】(1)由已知條件可知，在甲、乙兩公司分別投資500萬元的情況下欲獲利1250萬元，須且必須兩公司均不遭受貿易戰(zhàn)的影響.
故所求的概率為P=(1-0.6)×(1-0.5)=0.2.
(2)設投資100萬元在甲公司獲利萬元，則的可能取值為150和-50萬元.
又甲公司遭受貿易戰(zhàn)影響的概率為0.6
故投資100萬元在甲公司獲利的期望為150×0.4+(-50)×0.6=30萬元.
同理在乙公司獲利的期望為100×0.5+(-20)×0.5=40萬元.
設在甲、乙兩公司的投資分別為x,(1000-x)萬元，則平均獲利
z=0.3x+0.4(1000-x)=400-0.1x萬元(其中 ).
由于上述函數為減函數，所以其獲利區(qū)間范圍為335與365萬元之間.
【點睛】這個題目考查了互相獨立事件的概率的求法，以及離散型隨機變量的均值的求法，即期望的求法;其中互相獨立事件A和B，P(AB)=P(A)P(B).
21.設點 在以 ， 為焦點的橢圓 上.
(1)求橢圓 的方程;
(2)經過 作直線 交 于兩點 ，交 軸于 點，若 ， ，且 ，求 與 .
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)根據橢圓的定義得到2a值，由題干得到c=2,進而得到方程;(2)設出A、B、M點的坐標，根據向量關系得到A點坐標 ， ，代入橢圓方程得到關于 的方程，同理得到關于 的方程，進而抽出 、 是方程 的兩個根，解出即可得到 與 .
【詳解】(1)因為點P 在以 為焦點的橢圓C 上，所以
所以 .
又因為c=2，所以
所以橢圓C的方程為
(2)設A、B、M點的坐標分別為A( ， )，B( ， )，M(0， ).
∵ 2， ∴ ( ， )
∴ ，
將A點坐標代入到橢圓方程中，得 .
去分母整理得 ：
同理，由 2可得：
∴ 、 是方程 的兩個根，
∴ ，又
二者聯立解得
或所以 又 ，所以
所以上述方程即為
所以
【點睛】這個題目考查了橢圓的方程的求法，還考查了向量在圓錐曲線中的應用，一般采用的是向量坐標化，得到點坐標間的關系，再通過題干列出相應的方程進行分析即可.
22.已知函數 .
(1)若 ，求函數 的單調區(qū)間;
(2)若函數 在區(qū)間 上不單調，求實數 的取值范圍;
(3)求證： 或 是函數 在 上有三個不同零點的必要不充分條件.
【答案】(1)函數 的單調遞增區(qū)間為 ，沒有單調遞減區(qū)間. (2) (3)見解析
【解析】
【分析】
(1)將參數值k代入解析式，對函數求導，得到導函數大于0，進而得到函數只有增區(qū)間沒有減區(qū)間;(2)對函數求導， 在區(qū)間 上不單調所以 在 上有實數解，且無重根，變量分離即方程 有解，通過換元得到新函數的單調性，對方程的根進行討論即可;(3)證明： 或 則函數 在 上不能有三個不同零點，證明，函數有3個不同零點則 或 即可.
【詳解】(1)若k=-1，則 ，所以
由于△=16-48<0,
所以函數 的單調遞增區(qū)間為 ，沒有單調遞減區(qū)間.
(2)因
，因 在區(qū)間 上不單調，
所以 在 上有實數解，且無重根，
由 得
令 有 ，記 則 ，
所以在 上，h(t)單調遞減，在 上, h(t)單調遞增，
所以有 ，于是得
而當 時有 在 上有兩個相等的實根 ，故舍去
所以 .
(3)因為
所以，當△= ，即 時
函數 在R上單調遞增
故 在R上不可能有三個不同零點
所以，若 在R上有三個不同零點，則必有△ ，
即 是 在R上有三個不同零點的必要條件.
而當 ， 時，滿足
但
即此時 只有兩個不同零點
同樣，當 時，滿足 ，
但
即此時 也只有兩個不同零點
故k<-2或k>7是 在R上有三個不同零點的必要不充分條件.
【點睛】本題中涉及根據函數零點求參數取值，是高考經常涉及的重點問題，(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解;(2)分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數的圖象與參數的交點個數;(3)轉化為兩熟悉的函數圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.
高三理科數學上學期期末試卷
第Ⅰ卷(共60分)
一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.設全集為 ，集合 ， ，則 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化簡B，再根據補集、交集的定義即可求出.
【詳解】∵A={x|0
∴?RB={x|x<1}，
∴A∩(?RB)={x|0
故選：B.
【點睛】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎題目.
2.下面是關于復數 的四個命題：
; ; 的虛部為2; 的共軛復數為 .
其中真命題為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先將復數化簡運算，可得|z|及 和共軛復數，再依次判斷命題的真假.
【詳解】復數z 2+2i.可得|z|=2 ，所以p1：|z|=2;不正確;
z2=(2+2i)2=8i，所以p2：z2=8i;正確;
z=2+2i.z的虛部為2;可得p3：z的虛部為2;正確;
z=2+2i的共軛復數為：2﹣2i;所以p4：z的共軛復數為﹣2﹣2i不正確;
故選：A.
【點睛】本題考查復數的運算法則以及命題的真假的判斷與應用，是對基本知識的考查.
3.已知某產品連續(xù)4個月的廣告費 (千元)與銷售額 (萬元)( )滿足 ， ，若廣告費用 和銷售額 之間具有線性相關關系，且回歸直線方程為 ， ，那么廣告費用為5千元時，可預測的銷售額為( )萬元
A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 3.75
【答案】D
【解析】
【分析】
求出樣本中心點代入回歸直線方程，可得a，再將x=6代入，即可得出結論.
【詳解】由題意， ， ，
代入 0.6x+a，可得3=0.6×3.75+a，
所以a=0.75，
所以 0.6x+0.75，
所以x=5時， 0.6×5+0.75=3.75，
故選：D.
【點睛】本題考查線性回歸方程，考查學生的計算能力，利用回歸方程恒過樣本中心點是關鍵.
4.已知數列 為等差數列，且 成等比數列，則 的前6項的和為( )
A. 15 B. C. 6 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用 成等比數列,得到方程2a1+5d=2，將其整體代入 {an}前6項的和公式中即可求出結果.
【詳解】∵數列 為等差數列，且 成等比數列，∴ ，1， 成等差數列，
∴2 ，
∴2=a1+a1+5d，
解得2a1+5d=2，
∴{an}前6項的和為 2a1+5d)= .
故選：C.
【點睛】本題考查等差數列前n項和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列、等比數列的性質的合理運用.
5.已知定義在 的奇函數 滿足 ，當 時， ，則 ( )
A. B. 1 C. 0 D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】
根據題意，分析可得f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函數是周期為4的周期函數，可得f(2019)=f(﹣1+2020)=f(﹣1)，結合函數的奇偶性與解析式分析可得答案.
【詳解】根據題意，函數f(x)滿足f(x+2)=﹣f(x)，則有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函數是周期為4的周期函數，
則f(2019)=f(﹣1+2020)=f(﹣1)，
又由函數為奇函數，則f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(1)2=﹣1;
則f(2019)=﹣1;
故選：D.
【點睛】本題考查函數的奇偶性與周期性的應用，注意分析函數的周期.
6.設 且 ，則 是 的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意看命題“ab>1”與“ ”能否互推，然后根據必要條件、充分條件和充要條件的定義進行判斷.
【詳解】若“ab>1”當a=﹣2，b=﹣1時，不能得到“ ”，
若“ ”，例如當a=1，b=﹣1時，不能得到“ab>1“，
故“ab>1”是“ ”的既不充分也不必要條件，
故選：D.
【點睛】本小題主要考查了充分必要條件，考查了對不等關系的分析，屬于基礎題.
7.設 ， ， ，若 ，則與的夾角為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量的坐標運算得： (0， )，由數量積表示兩個向量的夾角得：cosθ ， 可得結果.
【詳解】由 (1， )， (1，0)， .
則 (1+k， )，
由 ，
則 0，
即k+1=0，即k=﹣1，即 (0， )，
設 與 的夾角為θ，
則cosθ ，
又θ∈[0，π]，
所以 ，
故選：A.
【點睛】本題考查了數量積表示兩個向量的夾角、及向量的坐標運算，屬于簡單題
8.第24屆國際數學家大會會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的，會標是四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如果小正方形的面積為 ，大正方形的面積為 ，直角三角形中較小的銳角為，則 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由圖形可知三角形的直角邊長度差為a，面積為6 ，列方程組求出直角邊得出sinθ，代入所求即可得出答案.
【詳解】由題意可知小正方形的邊長為a，大正方形邊長為5a，直角三角形的面積為 6 ，
設直角三角形的直角邊分別為x，y且x
∴直角三角形的面積為S xy=6 ，
聯立方程組可得x=3a，y=4a，
∴sinθ ，tanθ= .
∴ = = = ，
故選：D.
【點睛】本題考查了解直角三角形，三角恒等變換，屬于基礎題.
9.如圖所示，正方形的四個頂點 ， ， ， ，及拋物線 和 ，若將一個質點隨機投入正方形 中，則質點落在圖中陰影區(qū)域的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用幾何槪型的概率公式，求出對應的圖形的面積，利用面積比即可得到結論.
【詳解】∵A(﹣1，﹣1)，B(1，﹣1)，C(1，1)，D(﹣1，1)，
∴正方體的ABCD的面積S=2×2=4，
根據積分的幾何意義以及拋物線的對稱性可知陰影部分的面積：
S=2 [1﹣ ]dx=2( x3) 2[(1 )﹣0]=2 ，
則由幾何槪型的概率公式可得質點落在圖中陰影區(qū)域的概率是 .
故選：B.
【點睛】本題主要考查幾何槪型的概率的計算，利用積分求出陰影部分的面積是解決本題的關鍵.
10.如果 是拋物線 上的點，它們的橫坐標 ， 是拋物線 的焦點，若 ，則 ( )
A. 2028 B. 2038 C. 4046 D. 4056
【答案】B
【解析】
【分析】
由拋物線性質得|PnF| xn+1，由此能求出結果.
【詳解】∵P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2=4x上的點，
它們的橫坐標依次為x1，x2，…，xn，F是拋物線C的焦點，
,
∴
=(x1+1)+(x2+1)+…+(x2018+1)
=x1+x2+…+x2018+2018
=2018+20=2038.
故選：B.
【點睛】本題考查拋物線中一組焦半徑和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意拋物線的性質的合理運用.
11.已知函數 ，記 ，若 存在3個零點，則實數的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由g(x)=0得f(x)=ex+a，分別作出兩個函數的圖象，根據圖象交點個數與函數零點之間的關系進行轉化求解即可.
【詳解】由g(x)=0得f(x)=ex+a，
作出函數f(x)和y=ex+a的圖象如圖：
當直線y=ex+a過A 點時，截距a= ，此時兩個函數的圖象有2個交點，
將直線y=ex+a向上平移到過B(1，0)時，截距a=-e，兩個函數的圖象有2個交點，
在平移過程中直線y=ex+a與函數f(x)圖像有三個交點，
即函數g(x)存在3個零點，
故實數a的取值范圍是 ，
故選：C.
【點睛】本題主要考查分段函數的應用，考查了函數零點問題，利用函數與零點之間的關系轉化為兩個函數的圖象的交點問題是解決本題的關鍵，屬于中檔題.
12.設 是雙曲線 的左右焦點， 是坐標原點，過 的一條直線與雙曲線 和 軸分別交于 兩點，若 ， ，則雙曲線 的離心率為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由條件得到 = ，連接A ，在三角形 中，由余弦定理可得A ，
再由雙曲線定義A =2a，可得.
【詳解】∵ ，得到| ，∴ = ，又 ，連接A ， ，在三角形 中，由余弦定理可得A ，
又由雙曲線定義A =2a，可得 ，∴ = ，
故選D.
【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應用及離心率的求法，綜合考查了三角形中余弦定理的應用，屬于中檔題.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)
13.若 滿足約束條件 ，則 的最大值為____.
【答案】5
【解析】
【分析】
畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義，轉化求解目標函數的最值即可.
【詳解】x，y滿足約束條件 的可行域如圖：
由 解得A(1，2).
由可行域可知：目標函數經過可行域A時，
z=x+2y取得最大值：5.
故答案為：5.
【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，目標函數的幾何意義是解題的關鍵，考查計算能力.
14.設 ，則 的值為__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
分別令x=0和x=-1，即可得到所求.
【詳解】由條件 ，令x=0,則有 =0，再令x=-1,則有-1= ，∴ ，
故答案為1.
【點睛】本題考查二項式定理的系數問題，利用賦值法是解決問題的關鍵，屬于中檔題.
15.在平面直角坐標系 中,已知過點 的直線與圓 相切,且與直線 垂直,則實數 __________.
【答案】
【解析】
因為 在圓 上，所以圓心與切點 的連線與切線垂直，又知與直線與直線 垂直，所以圓心與切點 的連線與直線 斜率相等， ，所以 ，故填： .
16.已知函數 ，過點 作與 軸平行的直線交函數 的圖像于點 ，過點 作 圖像的切線交 軸于點 ，則 面積的最小值為____.
【答案】
【解析】
【分析】
求出f(x)的導數，令x=a，求得P的坐標，可得切線的斜率，運用點斜式方程可得切線的方程，令y=0，可得B的坐標，再由三角形的面積公式可得△ABP面積S，求出導數，利用導數求最值，即可得到所求值.
【詳解】函數f(x)= 的導數為f′(x) ，
由題意可令x=a，解得y ，
可得P(a， )，
即有切線的斜率為k ，
切線的方程為y﹣ (x )，
令y=0，可得x=a﹣1，
即B( a﹣1，0)，
在直角三角形PAB中，|AB|=1，|AP| ，
則△ABP面積為S(a) |AB|•|AP| • ，a>0，
導數S′(a) • ，
當a>1時，S′>0，S(a)遞增;當0
即有a=1處S取得極小值，且為最小值 e.
故答案為： e.
【點睛】本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區(qū)間、極值和最值，注意運用直線方程和構造函數法，考查運算能力，屬于中檔題.
三、解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.已知函數 的最小正周期為 ，將函數 的圖像向右平移 個單位長度，再向下平移 個單位長度，得到函數 的圖像.
(1)求函數 的單調遞增區(qū)間;
(2)在銳角 中，角 的對邊分別為 ，若 ， ，求 面積的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)利用三角恒等變換化簡函數f(x)的解析式，再根據正弦函數的單調求得函數f(x)的單調遞增區(qū)間.
(2)先利用函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律，求得g(x)的解析式，在銳角△ABC中，由g( )=0，求得A的值，再利用余弦定理、基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC面積的最大值.
【詳解】(1)由題得：函數
=
=
，
由它的最小正周期為 ，得 ，
∴
由 ，得
故函數 的單調遞增區(qū)間是
(2)將函數 的圖像向右平移 個單位長度，再向下平移 個單位長度，得到函數 的圖像，
在銳角 中，角 的對邊分別為 ，
若 ，可得 ，∴ .
因為 ，由余弦定理，得 ，
∴ ，
∴ ，當且僅當 時取得等號.
∴ 面積 ，
故 面積的最大值為
【點睛】本題主要考查三角恒等變換，函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律，正弦函數的單調性，余弦定理、基本不等式的應用，屬于中檔題.
18.設 是等差數列，前 項和為 ， 是等比數列，已知 ， ， ， .
(1)求數列 和數列 的通項公式;
(2)設 ，記 ，求 .
【答案】(1) ， ;(2)
【解析】
【分析】
(1)設數列 的公差為 等比數列{bn}的公比為q，由已知列式求得d，q及首項，則可求數列 和{bn}的通項公式;
(2)由(1)知， ，利用錯位相減直接求和.
【詳解】(1)設數列 的公差為 ，等比數列 的公比為
由已知得： ，即 ，
又 ，所以 ，
所以
由于 ，
，
所以 ，即 ( 不符合題意，舍去)
所以 ，
所以 和 的通項公式分別為 ， .
(2)由(1)知， ，
所以
所以
上述兩式相減，得：
=
= ，
得 .
【點睛】本題主要考查等差數列、等比數列的通項公式及前n項和等基礎知識，考查數列求和的基本方法及運算能力，是中檔題.
19.已知橢圓 ，點 在橢圓 上，橢圓 的離心率是 .
(1)求橢圓 的標準方程;
(2)設點 為橢圓長軸的左端點， 為橢圓上異于橢圓 長軸端點的兩點，記直線 斜率分別為 ，若 ，請判斷直線 是否過定點?若過定點，求該定點坐標，若不過定點，請說明理由.
【答案】(1) (2)過定點
【解析】
【分析】
(1)由點M(﹣1， )在橢圓C上，且橢圓C的離心率是 ，列方程組求出a=2，b ，由此能求出橢圓C的標準方程.
(2)設點P，Q的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，當直線PQ的斜率存在時，設直線PQ的方程為y=kx+m，聯立 ，得：(4k2+3)x2+8kmx+(4m2﹣12)=0，利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件得直線PQ的方程過定點(1，0);再驗證直線PQ的斜率不存在時，同樣推導出x0=1，從而直線PQ過(1，0).由此能求出直線PQ過定點(1，0).
【詳解】(1)由點 在橢圓 上，且橢圓 的離心率是 ，
可得 ，
可解得：
故橢圓 的標準方程為 .
(2)設點 的坐標分別為 ，
(ⅰ)當直線 斜率不存在時，由題意知，直線方程和曲線方程聯立得： ， ，
(ⅱ)當直線 的斜率存在時，設直線 的方程為 ，
聯立 ，消去 得： ，
由 ，有 ，
由韋達定理得： ， ，
故 ，可得： ，
可得： ，
整理為： ，
故有 ，
化簡整理得： ，解得： 或 ，
當 時直線 的方程為 ，即 ，過定點 不合題意，
當 時直線 的方程為 ，即 ，過定點 ，
綜上，由(ⅰ)(ⅱ)知，直線 過定點 .
【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程是否過定點的判斷與求法，考查橢圓、直線方程、根的判別式、韋達定理等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，是中檔題.
20.在創(chuàng)新“全國文明衛(wèi)生城”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進行了一次創(chuàng)城知識問卷調查(一位市民只能參加一次)，通過隨機抽樣，得到參加問卷調查的100人的得分統計結果如表所示：
(1)由頻數分布表可以大致認為，此次問卷調查的得分 ， 近似為這100人得分的平均值(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)，利用該正態(tài)分布，求 ;
(2)在(1)的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：
?、俚梅植坏陀?的可以獲贈2次隨機話費，得分低于 的可以獲贈1次隨機話費;
?、诿看潍@贈的隨機話費和對應的概率為：
現有市民甲參加此次問卷調查，記 (單位：元)為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求 的分布列與數學期望.
附：參考數據與公式： ,若 ，則 ， ， .
【答案】(1)0.8185(2)詳見解析
【解析】
【分析】
(1)由題意計算平均值，根據Z～N( ， )計算 的值;
(2)由題意知X的可能取值，計算對應的概率值，寫出分布列，計算數學期望值.
【詳解】(1)由題意得：
∴ ，∵ ，
∴ ，
，
∴
綜上，
(2)由題意知， ，
獲贈話費 的可能取值為20,40,50,70,100
;
;
;
，
;
的分布列為：
∴
【點睛】本題考查了離散型隨機變量的分布列、數學期望以及正態(tài)分布等基礎知識，也考查了運算求解能力，是中檔題.
21.已知函數 ， ， .
(1)已知 為函數 的公共點，且函數 在點 處的切線相同，求的值;
(2)若 在 上恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)求出函數的導數，由函數f(x)，g(x)在點T處的切線相同，得到 ，且 ，從而求出a的值即可;
(2)令 ，將a與0、e分別比較進行分類，討論 的單調性及最值情況，從而找到符合條件的a的值.
【詳解】(1)由題意 ， ，
∵點 為函數 的公共點，且函數 在點 處的切線相同，
故 且 ，
由(2)得： ，
∵ ，∴ ，從而 ，∴
代入(1)得： ，∴ ， .
(2)令
，
?、佼?時， ， 在 單調遞增，
∴ ，滿足題意;
?、诋?時，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 在 單調遞增，
需 解得： ，∴
?、郛?時， ，使
當 時， ， 單調遞減;
當 時， ， 單調遞增;
，
∵ ，
∴
，不恒成立，
綜上，實數的取值范圍是 .
【點睛】本題考查了導數的幾何意義及函數的單調性，最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題.
請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系 中，直線的參數方程為 (為參數， )，以坐標原點 為極點，以 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 的極坐標方程是 .
(1)求直線的普通方程和曲線 的直角坐標方程;
(2)已知直線與曲線 交于 兩點，且 ，求實數的值.
【答案】(1)的普通方程 ; 的直角坐標方程是 ;(2)
【解析】
【分析】
(1)把直線l的標準參數方程中的t消掉即可得到直線的普通方程，由曲線C的極坐標方程為ρ=2 sin(θ )，展開得 (ρsinθ+ρcosθ)，利用 即可得出曲線 的直角坐標方程;
(2)先求得圓心 到直線 的距離為 ，再用垂徑定理即可求解.
【詳解】(1)由直線的參數方程為 ，所以普通方程為
由曲線 的極坐標方程是 ，
所以 ，
所以曲線 的直角坐標方程是
(2)設 的中點為 ，圓心 到直線 的距離為 ，則 ，
圓 ，則 ， ，
,
由點到直線距離公式，
解得 ，所以實數的值為 .
【點睛】本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數方程化為普通方程，考查了點到直線的距離公式，圓中垂徑定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
23.選修4-5：不等式選講
已知函數 .
(1)若不等式 的解集為 ，求的值;
(2)當 時，求 的解集.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)通過討論a的范圍，求出不等式的解集，結合對應關系求出a的值即可;
(2)代入a的值，通過討論x的范圍，求出各個區(qū)間上的不等式的解集，取并集即可.
【詳解】(1)由 得 ，
當 時，
由 ，得 ，
當 時，
由 ，無解
所以 .
(2)
當 時，原不等式化為 ，所以 ;
當 時，原不等式化為 ，所以 (舍);
當 時，原不等式化為
所以，不等式的解集為 .
【點睛】本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題.
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