上學(xué)期期末高三數(shù)學(xué)試卷試題
我們?nèi)绻矚g數(shù)學(xué)的話就要多多做一下題才可以，小編今天下面就給大家整理高三數(shù)學(xué)，希望大家可以來學(xué)習(xí)一下
高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷帶答案
參考公式：樣本數(shù)據(jù) 的方差 ，其中 .
柱體的體積 ，其中 為柱體的底面積， 為高.
一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.
1.已知集合 ，則 ________.
2.已知復(fù)數(shù) 滿足 ( 是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù) ________.
3. 已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)為 ，
且這5個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為 ，則實(shí)數(shù) ________.
4. 一個(gè)算法的偽代碼如右圖所示，執(zhí)行此算法，若輸出的 值為 ，
則輸入的實(shí)數(shù) 的值為________.
5. 函數(shù) 的定義域?yàn)開_______.
6. 某校開設(shè)5門不同的選修課程，其中3門理科類和2門文科類，某同學(xué)從中選修2門課程，則該同學(xué)恰好選中1文1理的概率為________.
7. 已知雙曲線 的離心率為2，直線 經(jīng)過雙 的焦點(diǎn)，則雙曲線 的漸近線方程為________.
8. 已知圓錐 ，過 的中點(diǎn) 作平行于圓錐底面的截面，以截面為上底面作圓
柱 ，圓柱的下底面落在圓錐的底面上(如圖)，則圓柱 的體積與圓錐 的
體積的比值為________.
9. 已知正數(shù) 滿足 ，則 的最小值為________.
10. 若直線 與曲線 ( 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))相切，則實(shí)數(shù)
________.
11. 已知函數(shù) 是偶函數(shù)，點(diǎn) 是函數(shù) 圖象
的對(duì)稱中心，則 最小值為________.
12. 平面內(nèi)不共線的三點(diǎn) ，滿足 ，點(diǎn) 為線段 的中點(diǎn)， 的平分線交線段 于 ，若| ，則 ________.
13. 過原點(diǎn)的直線 與圓 交于 兩點(diǎn)，點(diǎn) 是該圓與 軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，以 為直徑的圓與直線 有異于 的交點(diǎn) ，且直線 與直線 的斜率之積等于 ，那么直線 的方程為________.
14. 數(shù)列 滿足 ，且數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為1，那么數(shù)列 的首項(xiàng) ________.
二、 解答題：本大題共6小題，共90分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. (本小題滿分14分)如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，點(diǎn)M，N分別是AB，CC1的中點(diǎn).
(1) 求證：CM∥平面AB1N;
(2) 求證：平面A1BN⊥平面AA1B1B.
(第15題)
16. (本小題滿分14分)已知在△ABC中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且b2-233bcsinA+c2=a2.
(1) 求角A的大小;
(2) 若tanBtanC=3，且a=2，求△ABC的周長.
17. (本小題滿分14分)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：x2a2+y2b2=1的焦點(diǎn)在橢圓C2：y2a2+x2b2=1上，其中a>b>0，且點(diǎn)63，63是橢圓C1，C2位于第一象限的交點(diǎn).
(1) 求橢圓C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 過y軸上一點(diǎn)P的直線l與橢圓C2相切，與橢圓C1交于點(diǎn)A，B，已知PA→=35PB→，求直線l的斜率.
18. (本小題滿分16分)某公園要設(shè)計(jì)如圖(1)所示的景觀窗格(其結(jié)構(gòu)可以看成矩形在四個(gè)角處對(duì)稱地截去四個(gè)全等三角形所得，如圖(2)中所示的多邊形ABCDEFGH)，整體設(shè)計(jì)方案要求：內(nèi)部井字形的兩根水平橫軸AF=BE=1.6 m，兩根豎軸CH=DG=1.2 m，記景觀窗格的外框(圖(2)中實(shí)線部分，軸和邊框的粗細(xì)忽略不計(jì))總長度為l m.
(1) 若∠ABC=2π3，且兩根橫軸之間的距離為0.6 m，求景觀窗格的外框總長度;
(2) 由于預(yù)算經(jīng)費(fèi)限制，景觀窗格的外框總長度不超過5 m，當(dāng)景觀窗格的面積(多邊形ABCDEFGH的面積)最大時(shí)，給出此景觀窗格的設(shè)計(jì)方案中∠ABC的大小與BC的長度.
圖(1) 圖(2)
(第18題)
19. (本小題滿分16分)已知在數(shù)列{an}中，a1=1，且an+1+3an+4=0，n∈N*.
(1) 求證：{an+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2) 數(shù)列{an}中是否存在不同的三項(xiàng)按照一定順序重新排列后，構(gòu)成等差數(shù)列?若存在，求出滿足條件的項(xiàng);若不存在，請(qǐng)說明理由.
20. (本小題滿分16分)已知函數(shù)m(x)=x2，函數(shù)n(x)=aln x+1(a∈R).
(1) 若a=2，求曲線y=n(x)在點(diǎn)(1，n(1))處的切線方程;
(2) 若函數(shù)f(x)=m(x)-n(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3) 若函數(shù)g(x)=n(x)-1+ex-ex≥0對(duì)x∈[1，+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.718 28…)
江蘇省常州市2019屆高三上學(xué)期期末考試
數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
1. {1} 2. -i 3. 9.5 4. 3 5. (0，e] 6. 35
7. y=±3x 8. 38 9. 4 10. e2
11. π2 12. 23 13. y=±3x 14. 32
(第15題)
15. (1) 令A(yù)B1交A1B于點(diǎn)O，連接OM，ON，在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1∥CC1，BB1=CC1，且四邊形AA1B1B是平行四邊形，所以O(shè)為AB1的中點(diǎn)，又因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥BB1，且OM=12BB1.因?yàn)镹為CC1的中點(diǎn)，CN=12CC1，所以O(shè)M=CN，且OM∥CN，所以四邊形CMON是平行四邊形，(5分)
所以CM∥ON，又ON⊂平面AB1N，CM⊄平面AB1N，所以CM∥平面AB1N.(7分)
(2) 在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以BB1⊥CM.(9分)
因?yàn)镃A=CB，M為AB的中點(diǎn)，所以CM⊥AB，又由(1)知CM∥ON，所以O(shè)N⊥AB，ON⊥BB1.又因?yàn)锳B∩BB1=B，AB，BB1⊂平面AA1B1B，所以O(shè)N⊥平面AA1B1B.(12分)
又ON⊂平面A1BN，所以平面A1BN⊥平面AA1B1B.(14分)
16. (1) 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，又b2-233bcsinA+c2=a2，
所以b2-2bccos A+c2=b2-233bcsinA+c2，即2bccos A=233bcsin A，(3分)
從而sinA=3cosA，若cosA=0，則sinA=0，與sin2A+cos2A=1矛盾，所以cos A≠0，
所以tanA=3.又A∈(0，π)，所以A=π3.(7分)
(2) tanB+tanC1-tanBtanC=tan(B+C)=tan(π-A)=tan2π3=-3.(9分)
又tanBtan C=3，所以tanB+tanC=-3×(-2)=23，解得tanB=tanC=3.(11分)
又B，C∈(0，π)，所以B=C=π3.又因?yàn)锳=π3，所以△ABC是正三角形，
由a=2，得△ABC的周長為6.(14分)
17. (1) 橢圓C1：x2a2+y2b2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±c，0)，代入橢圓C2的方程有c2b2=1，
點(diǎn)P63，63的坐標(biāo)代入橢圓C1，C2的方程有C1：23a2+23b2=1，
所以c2b2=1，a2=b2+c2，23a2+23b2=1，解得a2=2，b2=c2=1，(3分)
所以橢圓C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x22+y2=1，y22+x2=1.(5分)
(2) 由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，m)，
由y22+x2=1，y=kx+m，消去y，得(kx+m)22+x2=1，
即1+k22x2+kmx+m22-1=0，
Δ=k2m2-41+k22m22-1=0，
即k2+2-m2=0.(7分)
由x22+y2=1，y=kx+m，消去y，得x22+(kx+m)2=1，
即12+k2x2+2kmx+m2-1=0，
因?yàn)橹本€l與橢圓C1相交，有Δ=4k2m2-412+k2(m2-1)=4k2-12m2+12>0(*)，
x1，2=-2km±4k2-12m2+12212+k2.(9分)
因?yàn)镻A→=35PB→，即(x1，y1-m)=35(x2，y2-m)，則5x1=3x2，所以5-2km+4k2-12m2+12212+k2=
3-2km-4k2-12m2+12212+k2或
5-2km-4k2-12m2+12212+k2=
3-2km+4k2-12m2+12212+k2化簡(jiǎn)得，km=
4k2-12m2+12或km=-4k2-12m2+12，
即k2m2=16k2-12m2+12.(12分)
又因?yàn)閗2+2-m2=0，解得k2=2，m2=4或k2=4，m2=6，符合(*)式，所以直線l的斜率為±2或±2.(14分)
18. (1) 記CH與AF，BE的交點(diǎn)為M，N，
由∠ABC=2π3，得在△BCN中，∠CBN=π6，
其中CN=HM=12(1.2-0.6)=0.3 m，
所以BC=CNsin∠CBN=0.3sinπ6=35m，
BN=CNtan∠CBN=0.3tanπ6=3310m，(2分)
所以CD=BE-2BN=1.6-335=8-335，則
AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+ HA=2AB+2CD+4BC=1.2+16-635+125=34-635.(5分)
答：景觀窗格的外框總長度為34-635 m.(6分)
(2) AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA=2AB+2CD+4BC≤5，
設(shè)∠CBN=α，α∈0，π2，BC=r，
則CN=rsinα，BN=rcosα，
所以AB=CH-2CN=1.2-2rsinα， CD=BE-2BN=1.6-2rcosα，
所以2(1.2-2rsinα)+2(1.6-2rcosα)+4r≤5，即4r(sinα+cosα-1)≥35.(8分)
設(shè)景觀窗格的面積為S，有S=1.2×1.6-2r2sinα•cosα≤4825-9sinαcosα200(sinα+cosα-1)2當(dāng)且僅當(dāng)4r(sinα+
cosα-1)=35時(shí)取等號(hào).(9分)
令t=sinα+cosα∈(1，2]，則sinαcosα=t2-12，
所以S≤4825-9t2-12200(t-1)2=4825-9400•1+2t-1，其中1+2t-1≥1+22-1當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即α=π4時(shí)取等號(hào)，(12分)
所以S≤4825-94001+2t-1≤4825-9400•1+22-1=4825-9400(3+22)=741400-92200，
即S≤741400-92200當(dāng)且僅當(dāng)4r(sinα+cosα-1)=35
且α=π4時(shí)，取等號(hào)，
所以當(dāng)且僅當(dāng)r=3(2+1)20且α=π4時(shí)，S取到最大值.(15分)
答：當(dāng)景觀窗格的面積最大時(shí)，此景觀窗格的設(shè)計(jì)方案中∠ABC=3π4且BC=3(2+1)20 m.(16分)
19. (1) 由an+1+3an+4=0，得an+1+1=-3(an+1)，n∈N*，(2分)
其中a1=1，所以a1+1=2≠0，可得an+1≠0，n∈N*，(4分)
所以an+1+1an+1=-3，n∈N*，所以{an+1}是以2為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，(6分)
所以an+1=2(-3)n-1，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2(-3)n-1，n∈N*.(8分)
(2) 若數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)am，an，ak(m
分以下三種情形：
?、賏m位于中間，則2am=an+ak，即2[2(-3)m-1-1]=2(-3)n-1-1+2 (-3)k-1-1，
所以2(-3)m=(-3)n+(-3)k，兩邊同時(shí)除以(-3)m，得2=(-3)n-m+(-3)k-m是3的倍數(shù)，舍去;
②an位于中間，則2an=am+ak，即2[2(-3)n-1-1]=2(-3)m-1-1+2(-3)k-1-1，
所以2(-3)n=(-3)m+(-3)k，兩邊同時(shí)除以(-3)m，得2(-3)n-m=1+(-3)k-m，
即1=2(-3)n-m-(-3)k-m是3的倍數(shù)，舍去;
?、踑k位于中間，則2ak=am+an，即2[2(-3)k-1-1]=2(-3)m-1-1+2(-3)n-1-1，
所以2(-3)k=(-3)m+(-3)n，兩邊同時(shí)除以(-3)m，得2(-3)k-m=1+(-3)n-m，
1=2(-3)k-m-(-3)n-m是3的倍數(shù)，舍去.(15分)
綜上可得，數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)滿足題意.(16分)
20. (1) 當(dāng)a=2時(shí)，n(x)=2ln x+1，所以n′(x)=2x，
所以n′(1)=2，又n(1)=1，
所以切線的方程為y-1=2(x-1)，即y=2x-1.(3分)
(2) f(x)=x2-aln x-1，定義域?yàn)?0，+∞)，其圖象是一條不間斷的曲線，
f′(x)=2x-ax=2x2-ax.
?、偃鬭≤0，則f′(x)>0對(duì)x∈(0，+∞)恒成立，
所以y=f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，又f(1)=0，
所以y=f(x)在(0，+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意.
?、谌鬭>0，令f′(x)=0，得x=a2或x=-a2(舍去).
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x 0，a2
a2
a2，+∞
f′(x) - 0 +
f(x) ? 極小值 ?
1°.若a2>1，即a>2，此時(shí)a>a2，則fa2
令F1(a)=a2-aln a-1，a≥2，
則F1′(a)=2a-ln a-1，
令F2(a)=2a-ln a-1，則F2′(a)=2-1a>0對(duì)a∈[2，+∞)恒成立，
所以F2(a)=2a-ln a-1在[2，+∞)上單調(diào)遞增，
所以F2(a)≥F2(2)=3-ln 2>0，
即F1′(a)>0對(duì)a∈[2，+∞)恒成立，
所以F1(a)=a2-aln a-1在[2，+∞)上單調(diào)遞增，
所以F1(a)≥F1(2)=3-2ln 2>0，
即f(a)>0，又因?yàn)閒a2<0，且函數(shù)f(x)在a2，+∞上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f(x)在a2，+∞上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在0，a2上單調(diào)遞減，且有一個(gè)零點(diǎn)x=1，故函數(shù)f(x)在(0，+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去.
2°.若a2=1，即a=2，
則函數(shù)f (x)在(0，1)上單調(diào)遞減，所以f(x)>f(1)=0，
函數(shù)f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)>f(1)=0，
故函數(shù)f(x)在(0，+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意.
3°.若a2<1，即0
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在a2，+∞上單調(diào)遞增，
所以fa2
又fe-1a=e-2a>0，所以函數(shù)f(x)在(0，1)內(nèi)必有零點(diǎn)，
又因?yàn)?是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，不符合題意，舍去.(9分)
綜上，a≤0或a=2.(10分)
(3) 當(dāng)x≥1時(shí)，g(x)=aln x+ex-ex.
令G(x)=ex-ex，x≥1，則G′(x)=ex-e≥0對(duì)x∈[1，+∞)恒成立，
所以函數(shù)y=G(x)在[1，+∞)上單調(diào)遞增，所以G(x)≥G(1)=0.
?、偃鬭≥0，則當(dāng)x≥1時(shí)，ln x≥0，所以g(x)=aln x+ex-ex≥0恒成立，符合題意.(11分)
②若a<0，g′(x)=ax+ex-e，令H(x)=ax+ex-e，x≥1，則H′(x)=ex-ax2>0恒成立，
所以H(x)=ax+ex-e在[1，+∞)上單調(diào)遞增，
且H(1)=a<0.
因?yàn)閍<0，所以1-a>1，所以G(1-a)>G(1)=0，即e1-a>e(1-a).(12分)
所以H(1-a)=a1-a+e1-a-e>a1-a+e-ea-e=a1-a-ea=11-a+(1-a)-2-(e-1)a，
因?yàn)閍<0，1-a>1，所以11-a+(1-a)>2，(e-1)a<0，
所以H(1-a)>0，因?yàn)镠(x)=ax+ex-e在[1，+∞)上單調(diào)遞增，其圖象是一條不間斷的曲線，且H(1)=a<0，所以存在唯一的x0∈(1，1-a)，使得H(x0)=0，即g′(x0)=0，
當(dāng)x∈(1，x0)時(shí)，g′(x)<0，所以函數(shù)y=g(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，
此時(shí)g(x)
綜上，a≥0.(16分)
高三上學(xué)期期末考試
數(shù)學(xué)附加題
21. 【選做題】在A、B、C三小題中只能選做2題，每小題10分，共20分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
A. 選修42：矩陣與變換
已知點(diǎn)(1，2)在矩陣A=1x2y對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)(7，6).
(1) 求矩陣A;
(2) 求矩陣A的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量.
B. 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.直線l的參數(shù)方程為x=22t+1，y=12t(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=22sinθ+π4，求直線l被曲線C所截的弦長.
C. 選修45：不等式選講
已知a>0，b>0，求證：a+b+1≥ab+a+b.
【必做題】第22，23題，每小題10分，共20分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
22. (本小題滿分10分)如圖，在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知正四棱錐PABCD的高OP=2，點(diǎn)B，D和C，A分別在x軸和y軸上，且AB=2，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn).
(1) 求直線AM與平面PAB所成角的正弦值;
(2) 求二面角APBC的余弦值.
(第22題)
23. (本小題滿分10分)是否存在實(shí)數(shù)a，b，c使得等式1•3•5+2•4•6+…+n(n+2)(n+4)=n(n+1)4(an2+bn+c)對(duì)于一切正整數(shù)n都成立?若存在，求出a，b，c的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.
數(shù)學(xué)附加題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
21. A. (1) 由題意知1x2y12=76，即1+2x=7，2+2y=6，解得x=3，y=2，所以A=1322.(3分)
(2) f(λ)=λ-1-3-2λ-2=(λ-1)(λ-2)-6=λ2-3λ-4，令f(λ)=0，得λ2-3λ-4=0，解得λ1=-1，λ2=4.(5分)
當(dāng)λ1=-1時(shí)，-2x-3y=0，-2x-3y=0，取x=3，y=-2，所以屬于λ1=-1的一個(gè)特征向量為3-2，
當(dāng)λ2=4時(shí)，3x-3y=0，-2x+2y=0，取x=1，y=1，所以屬于λ2=4的一個(gè)特征向量為11.(9分)
所以矩陣A的特征值為λ1=-1，λ2=4，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為3-2，11.(10分)
B. 直線l的普通方程為x-2y-1=0，曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+(y-1)2=2，(4分)
所以曲線C是圓心為C(1，1)，半徑為r=2的圓，(6分)
所以圓心C(1，1)到直線l的距離為d=|1-2-1|1+(-2)2=23，(8分)
所以直線l被曲線C所截的弦長為2r2-d2=22-23=433.(10分)
C. 因?yàn)閍>0，b>0，由柯西不等式可得(a+b+1)(b+1+a)≥(ab+a+b)2，
當(dāng)且僅當(dāng)ab=b1=1a時(shí)取等號(hào)，所以(a+b+1)2≥(ab+a+b)2.
又因?yàn)閍+b+1>0，ab+a+b>0，
所以a+b+1≥ab+a+b.(10分)
22. (1) 記直線AM與平面PAB所成的角為α，A(0，-1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，
M0，12，1，則AB→=(1，1，0)，PA→=(0，-1，-2)，AM→=0，32，1，
設(shè)平面PAB的法向量為n=(x，y，z)，所以n•AB→=0，n•PA→=0，即x+y=0，-y-2z=0，取n=(2，-2，1)，
所以sinα=cos〈n，AM→〉=n•AM→|n|•|AM→|=23×132=41339，(5分)
即直線AM與平面PAB所成角的正弦值為41339.(6分)
(2) 設(shè)平面PBC的法向量為n1=(x，y，z)，
BC→=(-1，1，0)，PB→=(1，0，-2)，
由n1•BC→=0，n1•PB→=0，即-x+y=0，x-2z=0，取n1=(2，2，1)，所以cos〈n，n1〉=n•n1|n|•|n1|=13×3=19，(9分)
由圖可知二面角APBC的余弦值為-19.(10分)
23. 在1•3•5+2•4•6+…+n(n+2)(n+4)=n(n+1)4(an2+bn+c)中，
令n=1，得15=24(a+b+c);
令n=2，得63=64(4a+2b+c);
令n=3，得168=124(9a+3b+c)，
即a+b+c=30，4a+2b+c=42，9a+3b+c=56，解得a=1，b=9，c=20.(3分)
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：等式1•3•5+2•4•6+…+n(n+2)(n+4)=n(n+1)4(n2+9n+20)對(duì)于一切正整數(shù)n都成立.
當(dāng)n=1時(shí)，等式成立;
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即
1•3•5+2•4•6+…+k(k+2)(k+4)=k(k+1)4•(k2+9k+20).(4分)
當(dāng)n=k+1時(shí)，
1•3•5+2•4•6+…+k(k+2)(k+4)+(k+1)(k+3)(k+5)=k(k+1)4(k2+9k+20)+(k+1)(k+3)•(k+5)=14k(k+1)(k+4)(k+5)+(k+1)(k+3)(k+5)
=14(k+1)(k+5)(k2+8k+12)
=(k+1)(k+1+4)4[(k+1+1)(k+1+5)]
=(k+1)[(k+1)+1]4[(k+1)2+9(k+1)+20]，
即等式對(duì)n=k+1也成立.(8分)
綜上可得，等式1•3•5+2•4•6+…+n(n+2)•(n+4)=n(n+1)4(n2+9n+20)對(duì)于一切正整數(shù)n都成立.
所以存在實(shí)數(shù)a，b，c符合題意，且a=1，b=9，c=20.(10分)
高三數(shù)學(xué)理上冊(cè)期末試卷
第一部分(選擇題 共40分)
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 已知集合 ， ，則 =
2. 設(shè) 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) ，則 的共軛復(fù)數(shù)為
3. 閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出 的值為
4. 下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是
5. 某四面體的三視圖如圖所示，該四面
體的體積為
6. 已知平面向量 ，則下列關(guān)系正確的是
7. 在 中， ，則 的面積為
8.
已知函數(shù) 則下列關(guān)于函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷正確的是
A. 當(dāng) 時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn);當(dāng) 時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)
B. 當(dāng) 時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn);當(dāng) 時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)
C. 無論 為何值，均有2個(gè)零點(diǎn)
D. 無論 為何值，均有4個(gè)零點(diǎn)
第二部分(非選擇題共110分)
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.
9. 在 的展開式中， 的系數(shù)為____________.(用數(shù)字作答)
10. 設(shè) 為等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和， ，則其通項(xiàng)公式 ______ .
11. 若變量 滿足約束條件 ，則 的最小值等于______.
12. 寫出“ ”的一個(gè)充分不必要條件__________________.
13. 已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 在雙曲線上，且線段
的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則雙曲線的離心率為__________.
14. 2018年個(gè)稅改革方案中專項(xiàng)附加扣除等內(nèi)容將于2019年全面施行.不過，為了
讓老百姓盡早享受到減稅紅利，自2018年10月至2018年12月，先將工資所得稅起征額由3500元/月提高至5000元/月，并按新的稅率表(見附錄)計(jì)算納稅.
按照稅法規(guī)定，小王2018年9月和10月稅款計(jì)算情況分別如下:
月份 …… 納稅
所得額 起征額 應(yīng)納
稅額 適用
稅率 速算
扣除數(shù) 稅款 稅后
工資
9 …… 6000 3500 2500 10% 105 145 5855
10 …… 6000 5000 1000 3% 0 30 5970
(相關(guān)計(jì)算公式為：應(yīng)納稅額=納稅所得額–起征額，
稅款=應(yīng)納稅額 適用稅率–速算扣除數(shù)，
稅后工資=納稅所得額–稅款 )
(1)某職工甲2018年9月應(yīng)納稅額為2000元，那么他9月份的稅款為___元;
(2)某職工乙2018年10月稅后工資為14660元，則他享受減稅紅利為____元.
附錄：
原稅率表(執(zhí)行至2018年9月) 新稅率表(2018年10月起執(zhí)行)
應(yīng)納稅額 稅率 速算
扣除數(shù) 應(yīng)納稅額 稅率 速算
扣除數(shù)
不超過1500元 3% 0元 不超過3000元 3% 0元
1500元至4500元 10% 105元 3000元至12000元 10% 210元
4500元至9000元 20% 555元 12000元至25000元 20% 1410元
9000元至35000元 25% 1005元 25000元至35000元 25% 2660元
…… …… …… …… …… ……
三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15. (本小題13分)
函數(shù) 的部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)求 的最小正周期及解析式;
(Ⅱ)設(shè) ，求函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值.
16. (本小題13分)
年 月，某校高一年級(jí)新入學(xué)有 名學(xué)生，其中 名男生， 名女生.學(xué)校計(jì)劃為家遠(yuǎn)的高一新生提供 間男生宿舍和 間女生宿舍，每間宿舍可住2名同學(xué).
該校“數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)”社團(tuán)的同學(xué)為了解全體高一學(xué)生家庭居住地與學(xué)校的距離情況，按照性別進(jìn)行分層抽樣，其中共抽取40名男生家庭居住地與學(xué)校的距離數(shù)據(jù)(單位： )如下：
5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.3
5 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5 5.5 5.7
3.1 5.2 4.4 5 6.4 3.5 7 4 3 3.4
6.9 4.8 5.6 5 5.6 6.5 3 6 7 6.6
(Ⅰ)根據(jù)以上樣本數(shù)據(jù)推斷，若男生甲家庭居住地與學(xué)校距離為 ，他是否能住宿?說明理由;
(Ⅱ)通過計(jì)算得到男生樣本數(shù)據(jù)平均值為 ，女生樣本數(shù)據(jù)平均值為 ，求所有樣本數(shù)據(jù)的平均值;
(Ⅲ)已知能夠住宿的女生中有一對(duì)雙胞胎，如果隨機(jī)分配宿舍，求雙胞胎姐妹被分到
同一宿舍的概率.
17. (本小題14分)
如圖，在 中， . 可以通過 以直線 為軸旋轉(zhuǎn)得到，且 ，動(dòng)點(diǎn) 在斜邊 上.
(Ⅰ)求證：平面 平面 ;
(Ⅱ)當(dāng) 為 的中點(diǎn)時(shí)，求二面角 的余弦值;
(Ⅲ)求 與平面 所成的角中最大角的正弦值.
18. (本小題14分)
已知拋物線 經(jīng)過點(diǎn) ，其焦點(diǎn)為 . 為拋物線上除了原點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過 的直線 與 軸， 軸分別交于 .
(Ⅰ)求拋物線 的方程以及焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)若 與 的面積相等，求證：直線 是拋物線 的切線.
19. (本小題13分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)，求 在 處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng) 時(shí)，若 有極小值，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
20.(本小題13分)
將1至 這 個(gè)自然數(shù)隨機(jī)填入 方格的 個(gè)方格中，每個(gè)方格恰填一個(gè)數(shù)( ).對(duì)于同行或同列的每一對(duì)數(shù)，都計(jì)算較大數(shù)與較小數(shù)的比值，在這 個(gè)比值中的最小值，稱為這一填數(shù)法的“特征值”.
(Ⅰ)若 ，請(qǐng)寫出一種填數(shù)法，并計(jì)算此填數(shù)法的“特征值”;
(Ⅱ)當(dāng) 時(shí)，請(qǐng)寫出一種填數(shù)法，使得此填數(shù)法的“特征值”為 ;
(Ⅲ)求證：對(duì)任意一個(gè)填數(shù)法，其“特征值”不大于 .
數(shù)學(xué)(理)試卷答案及評(píng)分參考
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B B A C D A
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.
9. ; 10. ; 11. ;
12. ;(答案不唯一) 13. ; 14. ， .
三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共80分.解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.(本小題13分)
解：(Ⅰ)由圖可得
，所以 .
當(dāng) 時(shí)， ，可得 ，
(Ⅱ)
當(dāng) ，即 時(shí)， 有最小值為 .
16.(本小題13分)
解：(Ⅰ)能住宿.
因?yàn)?00名男生中有10名男生能住宿，
所以40名男生樣本中有2名男生能住宿。
樣本數(shù)據(jù)中距離為8.4km和8km的男生可以住宿，距離為7.5km以下的男生不可以住宿，
由于8.3 >8，所以男生甲能住宿。
(Ⅱ)根據(jù)分層抽樣的原則，抽取女生樣本數(shù)為32人.
所有樣本數(shù)據(jù)平均值為 .
(Ⅲ)解法一：記住宿的雙胞胎為 ，其他住宿女生為 .
考慮 的室友，共有 七種情況，
所以雙胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率為 .
解法二：設(shè)“雙胞胎姐妹被分到同一宿舍”為事件 ，
則 .
所以雙胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率為 .
17.(本小題14分)
(Ⅰ)證明：在 中， ，
∵ ，且 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴平面 平面 .
(Ⅱ)解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系 ，
∵ 為 的中點(diǎn)，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
設(shè) 為平面 的法向量，
∴ 即
令 ，則 ，
∴ 是平面 的一個(gè)法向量，
設(shè) 為平面 的法向量，
∴ 即
令 ，則 ， ，
∴ 是平面 的一個(gè)法向量，
∴ ，
∴二面角 的余弦值為 .
(Ⅲ)解法一:∵ 平面 ，
∴ 為 與平面 所成的角，
∵ ，
∴點(diǎn) 到直線 的距離最小時(shí)， 的正弦值最大，
即當(dāng) 時(shí)， 的正弦值最大，
此時(shí) ，∴ ，
∴ .
解法二：設(shè) ，所以 .
.
平面 的法向量 ，
所以
所以當(dāng) 時(shí)， 與平面 所成的角最大， .
18.(本小題14分)
解：(Ⅰ)因?yàn)閽佄锞€ 經(jīng)過點(diǎn) ，
所以 ， .
所以拋物線 的方程為 ，焦點(diǎn) 點(diǎn)坐標(biāo)為 .
(Ⅱ)因?yàn)?與 的面積相等，
所以 ，所以 為 的中點(diǎn).
設(shè) ，則 .
所以直線 的方程為 ，
與拋物線 聯(lián)立得：
，
所以直線 是拋物線 的切線.
19.(本小題13分)
解：(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)， ， .
，
所以 在 處的切線方程為 .
(Ⅱ) 有極小值 函數(shù) 有左負(fù)右正的變號(hào)零點(diǎn).
令 ，則
令 ，解得 .
的變化情況如下表：
- 0 +
減 極小值
增
?、?若 ，即 ，則 ，所以 不存在變號(hào)零點(diǎn)，不合題意.
?、?若 ，即 時(shí)， ， .
所以 ，使得 ;
且當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， .
所以當(dāng) 時(shí)， 的變化情況如下表：
減 極小值 增
所以 .
20.(本題13分)
解：(Ⅰ)
(前兩問答案不唯一，請(qǐng)酌情給分)
(Ⅲ)不妨設(shè)A為任意一個(gè)填數(shù)法，記此填數(shù)法的“特征值”為 ,
考慮含n+1個(gè)元素的集合 ，
易知其中必有至少兩個(gè)數(shù)處于同一行，設(shè)為
也必有至少兩個(gè)數(shù)處于同一列，設(shè)為 .
①若
則有 (因?yàn)?).
?、谌?，即 ，
則 ， .
所以 .
即不論何種情況，總有 . …13分
高三年級(jí)數(shù)學(xué)期中試卷題參考
第一部分(選擇題 共40分)
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 已知集合 ， ，則 =
2. 設(shè) 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) ，則 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程
序，則輸出 的值為
4. 下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是
5. 某四面體的三視圖如圖所示，該四面
體的體積為
6. 已知向量 ，則下列關(guān)系正確的是
7. 在 中， ，則 的值是
8. 關(guān)于 的不等式 的解集是 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
第二部分(非選擇題共110分)
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.
9. 已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn) ，則 __________.
10. 若變量 滿足約束條件 則 的最小值等于_________.
11. 若直線 與圓 相交于 兩點(diǎn)，且
( 為坐標(biāo)原點(diǎn))，則r =__________.
12. 寫出“ ”成立的一個(gè)充分不必要條件___________________________.
13. 已知拋物線 的準(zhǔn)線為 ， 與雙曲線 的兩條漸近線分別交于
兩點(diǎn)，則線段 的長度為_____________.
14. 2018年個(gè)稅改革方案中專項(xiàng)附加扣除等內(nèi)容將于2019年全面施行.不過，為了
讓老百姓盡早享受到減稅紅利，自2018年10月至2018年12月，先將工資所得稅起征額由3500元/月提高至5000元/月，并按新的稅率表(見附錄)計(jì)算納稅.
按照稅法規(guī)定，小王2018年9月和10月稅款計(jì)算情況分別如下:
月份 …… 納稅
所得額 起征額 應(yīng)納
稅額 適用
稅率 速算
扣除數(shù) 稅款 稅后
工資
9 …… 6000 3500 2500 10% 105 145 5855
10 …… 6000 5000 1000 3% 0 30 5970
(相關(guān)計(jì)算公式為：應(yīng)納稅額=納稅所得額–起征額，
稅款=應(yīng)納稅額 適用稅率–速算扣除數(shù)，
稅后工資=納稅所得額–稅款 )
(1)某職工甲2018年9月應(yīng)納稅額為2000元，那么他9月份的稅款為___元;
(2)某職工乙2018年10月稅后工資為14660元，則他享受減稅紅利為____元.
附錄：
原稅率表(執(zhí)行至2018年9月) 新稅率表(2018年10月起執(zhí)行)
應(yīng)納稅額 稅率 速算
扣除數(shù) 應(yīng)納稅額 稅率 速算
扣除數(shù)
不超過1500元 3% 0元 不超過3000元 3% 0元
1500元至4500元 10% 105元 3000元至12000元 10% 210元
4500元至9000元 20% 555元 12000元至25000元 20% 1410元
9000元至35000元 25% 1005元 25000元至35000元 25% 2660元
…… …… …… …… …… ……
三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15. (本小題13分)
函數(shù) 的部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)求 的最小正周期及解析式;
(Ⅱ)設(shè) ，求函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值.
16. (本小題13分)
已知 為等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和，且 .
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè) ， 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和，是否存在 ，使得 = ?若存在，求出 的值;若不存在，說明理由.
17. (本小題13分)
年 月，某校高一年級(jí)新入學(xué)有 名學(xué)生，其中 名女生， 名男生.學(xué)校計(jì)劃為家遠(yuǎn)的高一新生提供 間女生宿舍和 間男生宿舍，每間宿舍可住2名同學(xué).
該校“數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)”社團(tuán)的同學(xué)為了解全體高一學(xué)生家庭居住地與學(xué)校的距離情況，按照性別進(jìn)行分層抽樣，其中共抽取20名女生家庭居住地與學(xué)校的距離數(shù)據(jù)(單位： )如下：
5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.3
5 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5 5.5 5.7
(Ⅰ)根據(jù)以上樣本數(shù)據(jù)推斷，若女生甲家庭居住地與學(xué)校距離為 ，她是否能住宿?說明理由;
(Ⅱ)通過計(jì)算得到女生家庭居住地與學(xué)校距離的樣本平均值為 ，男生家庭居住地與學(xué)校距離的樣本平均值為 ，則所有樣本數(shù)據(jù)的平均值為多少?
(Ⅲ)已知某班有4名女生安排在兩間宿舍中，其中有一對(duì)雙胞胎，如果隨機(jī)分配宿舍，求雙胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率.
18. (本小題14分)
如圖，在多面體 中，已知 是邊長為2的正方形， 為正三角形， 且 ， ， 分別為 的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證： 平面 ;
(Ⅱ)求證： 平面 ;
(Ⅲ)求三棱錐 的體積.
19. (本小題14分)
已知橢圓 的一個(gè)頂點(diǎn)為 ，離心率為 .
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)的直線 交橢圓于 、 兩點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線 交橢圓于 、 兩點(diǎn). 若 ，求證： 為定值.
20. (本小題13分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)，求 在 處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng) 時(shí)，若 有極小值，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
石景山區(qū)2018-2019學(xué)年第一學(xué)期高三期末
數(shù)學(xué)(文)試卷答案及評(píng)分參考
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A A C B C
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.
9. ; 10. ; 11. ;
12. ;(答案不唯一) 13. ; 14. ， .
三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共80分.解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.(本小題13分)
解：(Ⅰ)由圖可得
，所以 .
當(dāng) 時(shí)， ，可得 ，
當(dāng) ，即 時(shí)， 有最小值為 .
16.(本小題13分)
解：(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列 的公差為 ，
則 ，
又 ，所以 ， .
(Ⅱ)因?yàn)?，所以 為等比數(shù)列.
所以 .
假設(shè)存在 ，使得 = .
，
所以 ，即 ，所以 滿足題意.
17.(本小題13分)
解：(Ⅰ)能住宿.
(Ⅱ)根據(jù)分層抽樣的原則，抽取男生樣本數(shù)為16人.
所有樣本數(shù)據(jù)平均值為 .
(Ⅲ)解法一：記住宿的雙胞胎為 ，其他住宿女生為 .
考慮 的室友，共有 三種情況，
所以雙胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率為 .
解法二：記住宿的雙胞胎為 ，其他住宿女生為 .
隨機(jī)分配宿舍，共有
三種情況，
滿足題意得有 一種情況，
所以雙胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率為 .
18.(本小題14分)
(Ⅰ)證明：取 的中點(diǎn) ，連結(jié) ，
∵四邊形 是邊長為 的正方形， 為 的中點(diǎn)，
∴ ，
∵ 為 的中點(diǎn)，且 ，
∴ ，又 ∥ ，
∴ ，
∴四邊形 為平行四邊形，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ ∥平面 .
(Ⅱ)證明：∵ ∥ ， ，
∴ ，
在正方形 中 ，且 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ，
又 為正三角形， 為 的中點(diǎn)，
∴
又
∴ 平面 .
(Ⅲ)∵ ∥ ，
∴ ∥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ 為三棱錐 的高，
∵ 為正三角形， 為 的中點(diǎn)，
∴ ，
∴ .
19.(本小題14分)
解：(Ⅰ)依題意， .
由 ，得 .
∴橢圓 的方程為 .
(Ⅱ)證明：(1)當(dāng)直線 的斜率不存在時(shí)，易求 ， ，
則 .
(2)當(dāng)直線 的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線 的斜率為 ，依題意 ，
則直線 的方程為 ，直線 的方程為 .
設(shè) ， ， ， ，
由 得 ，
則 ， ，
由 整理得 ，則 .
.
∴ .
綜合(1)(2)， 為定值.
20.(本小題13分)
解：(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)， ， .
，
所以 在 處的切線方程為 .
(Ⅱ) 有極小值 函數(shù) 有左負(fù)右正的變號(hào)零點(diǎn).
令 ，則
令 ，解得 .
的變化情況如下表：
– 0 +
減 極小值
增
?、?若 ，即 ，則 ，所以 不存在變號(hào)零點(diǎn)，不合題意.
② 若 ，即 時(shí)， ， .
所以 ，使得 ;
且當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， .
所以當(dāng) 時(shí)， 的變化情況如下表：
– 0 +
減 極小值 增
所以 .
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