計數(shù)查找算法的研究
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摘 要 查找第K大的元素的問題在計算機查找計數(shù)中占有很重要的地位。若直接進行排序，則算法平均時間復雜度為O(N*Lg(N))。但是比較好的策略有求第K大的元素的經(jīng)典算法——基于分治思想的Divide-Select [1][6]，算法的時間復雜度為O(6.09*N ) [5]。由于基于比較的排序算法在最壞的情況之下，都需要進行N*Lg(N)次比較[3]，故本文提出了一種基于非比較算法的無符號整數(shù)查找算法——Count-Search（計數(shù)查找算法）。該算法應用于無符號整數(shù)的查找，算法的平均時間復雜度為O( 2*N )。
關(guān)鍵字 非比較；查找；排序；時間復雜度；計數(shù)；整數(shù)
1 算法的基本思想
通常的排序算法在空間和時間復雜度一定的情況下的時間開銷主要是關(guān)鍵字之間的比較和記錄的移動。基于計數(shù)排序的查找算法（Count-Search）的實現(xiàn)在整個過程無需進行數(shù)據(jù)的比較，算法的時間復雜度為O( 2*N )。該算法的基本原理是：
根據(jù)無符號整數(shù)的大小可以和數(shù)組元素的下標對應的原則，在程序中可以用整數(shù)數(shù)組來儲存元素的大小關(guān)系。對于一個大小為N的整型數(shù)組a[]，對于每一個元素x，用數(shù)組中的元素a[x]記錄下小于等于它的元素個數(shù)，當要找的是集合中第K個大的元素時，則只需找到該數(shù)組中第N-K+1小的元素。即只需要找到該數(shù)組中第一個大于或等于 N-K+1的元素，該元素的下標即為第K大的數(shù)。
該算法具體可以描述為：假設n個輸入元素的每一個都是介于0到M之間的整數(shù)，此處M為某個無符號整數(shù)。
(1) 對于每一個輸入的元素X，首先確定出等于X的元素個數(shù)。
(2) 對于每一個元素X，確定小于等于X的元素個數(shù)。
(3) 從數(shù)組首地址出發(fā)順序查找到第一個小于等于K的元素，則該元素X即為所要查找的第K小的數(shù)，順序查找到第一個小于等于N-K+1的元素，則該元素X即為所要查找的第K大的數(shù)。
2 計數(shù)查找算法的C語言實現(xiàn)(Count—Search)
2.1 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的設計與程序
假定輸入的數(shù)組為整型數(shù)組A[1..N]，length[A]=N，數(shù)組中元素最大值為M，數(shù)組C[]記錄整數(shù)元素的大小關(guān)系。
Count-Search(int* A，int K)
memest(C，0)//C[0..M]==0初始化C[]
for j=1 to length[A]
do C[A[j]]=C[A[j]]+1
//C[i]包含等于i的元素個數(shù)
for i=1 to M
begin
do C[i] = C[i]+C[i-1] //C[i]包含小于等于i的元素個數(shù)
if( C[i]>= N-K+1 ) break；//尋找到第N-K+1的元素，即為第K大的元素
end
2.2 算法步驟分析
第一步：第一行的初始化操作之后，在2-3行檢查每一個輸入元素。如果一個輸入元素的值為i，即C[i]的值加1 。于是在第3行之后，C[i]中存放了等于i的元素個數(shù)（整數(shù)i=0，1，…M）。
第二步：在第4-8之后，C[i]存放了小于等于i的元素的個數(shù)。最后從數(shù)組C的首地址出發(fā)順序查找第一個使得C[i]>=N-K+1的元素，則第K大的元素即為i 。
下圖給出了Count-Search的運算過程：圖1表示初始數(shù)組A，C。圖2表示運行完程序 2-3行，數(shù)組C中的元素C[i]存放的是數(shù)組A中等于i的元素個數(shù)。圖3表示運行4-8行的結(jié)果，C中元素C[i]存放的是數(shù)組A中小于等于i的元素個數(shù)。例如查找該數(shù)組第3大的數(shù)，則由于C[2]=4>=3，故元素2即為所要查找的第3大的數(shù)。
2.3 時間復雜度分析
程序2-3行時間復雜度為O(N)，第4-8行時間復雜度為O(M)，該算法的時間復雜度為T(n)= O( N+M)。如果數(shù)組A[]的最大值M與N成線形關(guān)系，即M=O(n)，則其時間復雜度為T(n) = O( 2N)。
3 Count-Search算法與Divide-Select算法的比較
Divide-Select 的基本思想是：通過在線性的時間內(nèi)找到一個劃分基準，使得按這個基準所劃分出的兩個子數(shù)組的長度都至少為原數(shù)組的ξ倍（0<ξ<1是某個正常數(shù)），然后對子數(shù)組遞歸的調(diào)用Divide-Select算法，這樣就可以在線性的時間內(nèi)完成查找任務。[6]
該算法得時間復雜度為O(6.09*N)[5]，與Count-Search算法相比較可知：Count-Search算法具有更好的時間復雜度。
4 算法測試與比較
為了證實上述結(jié)論，在ACER TravelMate 2420 (PM730，512M內(nèi)存，80G硬盤)，Windows XP 平臺上編寫了三種查找算法的子程序，進行了相應的實驗測定，其結(jié)果如表1 所示。（實驗數(shù)據(jù)全部采用均分布的無符號整型隨機數(shù)）
表1
數(shù)據(jù)規(guī)模 | 2*10^5 | 8*10^5 | 10^6 | 2*10^6 | 8*10^6 | 10^7 | 8*10^7 |
快速排序的查找（qsort） | 63 | 219 | 265 | 579 | 2203 | 2766 | 62437 |
Divide- Select | 31 | 109 | 140 | 329 | 1157 | 1347 | 11732 |
Count-Search | 15 | 16 | 31 | 31 | 187 | 203 | 1344 |
注：以上時間單位為毫秒MS。
根據(jù)以上數(shù)據(jù)我們可以繪制出數(shù)據(jù)規(guī)模和時間的函數(shù)圖像。
觀察分析以上實驗結(jié)果，可以看出：基于快速排序的查找算法和其他算法相比較具有較差的效率；而采用了分治策略的Divide- Select查找算法的效率可以是基于快速排序的查找算法的幾十倍，其時間復雜度在圖中也反映為線性。而基于計數(shù)排序的查找算法（Count- Search）的時間復雜度同樣達到了線性，但是效率卻比Divide-Select更高，通過上述實驗可以得知：在進行無符號整數(shù)查找時，基于計數(shù)排序的查找算法（Count-Search）在時間上是最優(yōu)的。
5 Count-Search的應用范圍
在查找無符號整數(shù)集合時，應用Count-Search算法，能夠降低查找時間復雜度。但是應用Count-Search算法時要注意：該算法只適用于整數(shù)的查找，且查找集合S的最大值M與S中元素個數(shù)N不成指數(shù)關(guān)系，即M 不能遠大于N。因為當M過大時，首先內(nèi)存開銷就會很大，其次時間復雜度也會相應的提高。
該算法充分的運用了整數(shù)的特性，整個運算過程中無需數(shù)據(jù)的比較和交換，大大降低了算法的時間復雜度，因此該算法可以在工程統(tǒng)計中得到大規(guī)模運用。例如：隨著網(wǎng)絡的發(fā)展和應用，網(wǎng)絡中的信息量成倍的擴大，而在其中我們關(guān)注的最多的則是統(tǒng)計排名比較靠前的信息，如果將全部過億的統(tǒng)計量排序，則由于數(shù)據(jù)量過大，則會浪費大量的時間和資源。而采用Count-Search的查找算法，就可在線性的時間完成。
6 結(jié)束語
本文中提出的一種基于計數(shù)排序算法的整數(shù)查找算法，該算法在運算過程中無需進行數(shù)據(jù)的比較和交換，該算法可以應用到大規(guī)模的整數(shù)查找，算法的時間復雜度很低，而且避免的大量的數(shù)據(jù)比較和交換，同時在時間上是最優(yōu)的。
參考文獻
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