“不可破譯”的密碼
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孫宏安1由 分享
密碼在當(dāng)今社會(huì)生活中的作用可以說(shuō)十分巨大，除了眾所周知的軍事國(guó)防方面的應(yīng)用外，現(xiàn)代金融、貿(mào)易、生產(chǎn)等無(wú)不在大規(guī)模使用密碼．計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的廣泛應(yīng)用，使人們對(duì)密碼的依賴達(dá)到了新的高度，在千百萬(wàn)臺(tái)計(jì)算機(jī)聯(lián)結(jié)成的因特網(wǎng)上，用戶的識(shí)別基本上是靠密碼．密碼被破譯就會(huì)產(chǎn)生危及安全的極嚴(yán)重的后果．計(jì)算機(jī)“黑客”的作為，即為密碼破譯的一例，連美國(guó)國(guó)防部的計(jì)算機(jī)都未能幸免，可見密碼編制的難度了．
?由大整數(shù)因數(shù)分解的困難，人們研制成功一種“不可破譯”的密碼：ＲＳＡ體制密碼（見本刊2000年第6期《大整數(shù)的因數(shù)分解問(wèn)題》一文）．ＲＳＡ密碼是一種公開密鑰密碼，說(shuō)它“不可破譯”是形容破譯之難，不過(guò)的確至今尚沒找到破譯的理論工具．
?一般密碼編制理論中，稱要傳遞的原文為“明文”，經(jīng)加密后實(shí)際傳遞的是密碼構(gòu)成的“密文”，收信方則將其解密，恢復(fù)為明文使其可理解，就完成了通信任務(wù)．這其中加密和解密要用通信雙方約定的方法，這一方法就稱為密鑰．更一般地，人們首先給定一個(gè)加密算法，不太嚴(yán)格地說(shuō)，可把這一算法視為函數(shù)，函數(shù)的值就是密鑰，而解密算法可以說(shuō)是加密算法的一個(gè)反函數(shù)，使用同一個(gè)密鑰（原函數(shù)的值）可將密文惟一地譯成明文．
?密碼的關(guān)鍵就在于通信雙方約定密鑰而不被外界所知，外界對(duì)密碼的破譯也就指向密鑰了．而且為了防止外界可能的破譯，就應(yīng)盡力使外人不可能積累在同一密鑰下的許多密文，否則可用統(tǒng)計(jì)分析法等確定出密鑰，世界戰(zhàn)爭(zhēng)史、外交史上有許多破譯成功的例子．這樣就經(jīng)常變換密鑰，重要的通信要每天一換甚至通一次信換一次．
?這么頻繁換的密鑰怎樣送給對(duì)方？如果隨其他信息（用無(wú)線電或網(wǎng)絡(luò)）易于失密，每次派專人送又不可能，怎樣解決這一問(wèn)題呢？這就是ＲＳＡ密碼的長(zhǎng)處了，它把密鑰分成加密鑰和解密鑰．如Ａ和Ｂ通信，Ａ把加密鑰公開送達(dá)Ｂ（可用明碼電報(bào)或與上次通信同時(shí)），不怕外人知道，所以叫公開密鑰，而解密鑰留在自己處不送達(dá)Ｂ，Ｂ收到公開密鑰后，用它加密要給Ａ的信息，然后送回Ａ（這也無(wú)須特別秘密），則Ａ可用手中的解密密鑰解密．
?外人沒有解密密鑰，就無(wú)從破譯密碼了，那么加密鑰和解密鑰就沒有關(guān)系了嗎？當(dāng)然不是，否則就無(wú)法解密了．不過(guò)這種關(guān)系正是建立在大整數(shù)因數(shù)分解困難的基礎(chǔ)上．換句話說(shuō)，由公開密鑰得出解密鑰要進(jìn)行一個(gè)充分大的整數(shù)的因數(shù)分解，你無(wú)法分解也就無(wú)法破譯．
?具體的編碼過(guò)程是，先找出兩個(gè)不同的大素?cái)?shù)ｐ和ｑ，再給定一個(gè)數(shù)ｒ（一般是用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)或至少一個(gè)偽隨機(jī)數(shù)，也可每次一換），使ｒ與數(shù)（ｐ－1）（ｐ－1）互素，這三個(gè)數(shù)ｐ、ｑ、ｒ就是解密密鑰．
?再求一個(gè)數(shù)ｍ，使（ｒｍ－1）能被（ｐ－1）（ｑ－1）整除．嚴(yán)格表述為：求ｍ，使
?ｒｍ≡1（ｍｏｄ（ｐ－1）（ｑ－1））．
?由于ｒ與（ｐ－1）（ｑ－1）互素，所以ｍ是一定可求出來(lái)的（有數(shù)論定理保證）．再求出數(shù)ｎ＝ｐｑ．ｍ、ｎ為加密密鑰，即公開密鑰．
?具體的加密方法為，設(shè)明文為ｘ，可把ｘ視為（或變?yōu)椋┮粋€(gè)大整數(shù)，設(shè)ｘ＜ｎ，若ｘ≥ｎ，則將ｘ表示為ｓ進(jìn)位的形式（ｓ≤ｎ，常用ｓ＝2ｔ形式）的數(shù)，使其每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)都小于ｎ，再分?jǐn)?shù)位進(jìn)行編碼．求一個(gè)數(shù)ｙ（0≤ｙ＜ｎ）使
ｙ≡ｘｍ（ｍｏｄｎ）（可理解為，使（ｙ－ｘｍ）能被ｎ整除），ｙ就是用ｍ、ｎ密鑰加密后的密文．
?解密過(guò)程為，求
?ｚ＝ｙｒ（ｍｏｄｎ）（0≤ｚ＜ｎ），
?在限定的條件（0≤ｙ＜ｎ，0≤ｚ＜ｎ）下有（可嚴(yán)格證明）
δ＝ｘ，
即得出明文．
?外人要想破譯密碼，就必須由ｍ、ｎ求出數(shù)ｒ來(lái)．
?由此可見，要找到ｒ必須由ｎ得出ｐ和ｑ，即對(duì)ｎ進(jìn)行因數(shù)分解，如ｐ、ｑ取得相當(dāng)大，即ｎ相當(dāng)大，由于分解困難，無(wú)法破譯這一密碼．
由于運(yùn)用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)已可分解100位左右數(shù)的因數(shù)，因此ｎ要取得相當(dāng)大，從而ｐ、ｑ也要取得相當(dāng)大，比如每個(gè)數(shù)80位以上，再求積，這在技術(shù)上是可能的．
?是否還應(yīng)考慮相應(yīng)計(jì)算的復(fù)雜性和計(jì)算所需要的時(shí)間呢？當(dāng)然有這方面的問(wèn)題，現(xiàn)在通常用復(fù)合編碼法解決，即用其他計(jì)算比較簡(jiǎn)單、耗時(shí)少的編碼方法編碼，而每次編碼所采用的密鑰用ＲＳＡ密碼來(lái)傳遞，這既加強(qiáng)了安全性，又加快了速度．
?由大整數(shù)因數(shù)分解的困難，人們研制成功一種“不可破譯”的密碼：ＲＳＡ體制密碼（見本刊2000年第6期《大整數(shù)的因數(shù)分解問(wèn)題》一文）．ＲＳＡ密碼是一種公開密鑰密碼，說(shuō)它“不可破譯”是形容破譯之難，不過(guò)的確至今尚沒找到破譯的理論工具．
?一般密碼編制理論中，稱要傳遞的原文為“明文”，經(jīng)加密后實(shí)際傳遞的是密碼構(gòu)成的“密文”，收信方則將其解密，恢復(fù)為明文使其可理解，就完成了通信任務(wù)．這其中加密和解密要用通信雙方約定的方法，這一方法就稱為密鑰．更一般地，人們首先給定一個(gè)加密算法，不太嚴(yán)格地說(shuō)，可把這一算法視為函數(shù)，函數(shù)的值就是密鑰，而解密算法可以說(shuō)是加密算法的一個(gè)反函數(shù)，使用同一個(gè)密鑰（原函數(shù)的值）可將密文惟一地譯成明文．
?密碼的關(guān)鍵就在于通信雙方約定密鑰而不被外界所知，外界對(duì)密碼的破譯也就指向密鑰了．而且為了防止外界可能的破譯，就應(yīng)盡力使外人不可能積累在同一密鑰下的許多密文，否則可用統(tǒng)計(jì)分析法等確定出密鑰，世界戰(zhàn)爭(zhēng)史、外交史上有許多破譯成功的例子．這樣就經(jīng)常變換密鑰，重要的通信要每天一換甚至通一次信換一次．
?這么頻繁換的密鑰怎樣送給對(duì)方？如果隨其他信息（用無(wú)線電或網(wǎng)絡(luò)）易于失密，每次派專人送又不可能，怎樣解決這一問(wèn)題呢？這就是ＲＳＡ密碼的長(zhǎng)處了，它把密鑰分成加密鑰和解密鑰．如Ａ和Ｂ通信，Ａ把加密鑰公開送達(dá)Ｂ（可用明碼電報(bào)或與上次通信同時(shí)），不怕外人知道，所以叫公開密鑰，而解密鑰留在自己處不送達(dá)Ｂ，Ｂ收到公開密鑰后，用它加密要給Ａ的信息，然后送回Ａ（這也無(wú)須特別秘密），則Ａ可用手中的解密密鑰解密．
?外人沒有解密密鑰，就無(wú)從破譯密碼了，那么加密鑰和解密鑰就沒有關(guān)系了嗎？當(dāng)然不是，否則就無(wú)法解密了．不過(guò)這種關(guān)系正是建立在大整數(shù)因數(shù)分解困難的基礎(chǔ)上．換句話說(shuō)，由公開密鑰得出解密鑰要進(jìn)行一個(gè)充分大的整數(shù)的因數(shù)分解，你無(wú)法分解也就無(wú)法破譯．
?具體的編碼過(guò)程是，先找出兩個(gè)不同的大素?cái)?shù)ｐ和ｑ，再給定一個(gè)數(shù)ｒ（一般是用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)或至少一個(gè)偽隨機(jī)數(shù)，也可每次一換），使ｒ與數(shù)（ｐ－1）（ｐ－1）互素，這三個(gè)數(shù)ｐ、ｑ、ｒ就是解密密鑰．
?再求一個(gè)數(shù)ｍ，使（ｒｍ－1）能被（ｐ－1）（ｑ－1）整除．嚴(yán)格表述為：求ｍ，使
?ｒｍ≡1（ｍｏｄ（ｐ－1）（ｑ－1））．
?由于ｒ與（ｐ－1）（ｑ－1）互素，所以ｍ是一定可求出來(lái)的（有數(shù)論定理保證）．再求出數(shù)ｎ＝ｐｑ．ｍ、ｎ為加密密鑰，即公開密鑰．
?具體的加密方法為，設(shè)明文為ｘ，可把ｘ視為（或變?yōu)椋┮粋€(gè)大整數(shù)，設(shè)ｘ＜ｎ，若ｘ≥ｎ，則將ｘ表示為ｓ進(jìn)位的形式（ｓ≤ｎ，常用ｓ＝2ｔ形式）的數(shù)，使其每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)都小于ｎ，再分?jǐn)?shù)位進(jìn)行編碼．求一個(gè)數(shù)ｙ（0≤ｙ＜ｎ）使
ｙ≡ｘｍ（ｍｏｄｎ）（可理解為，使（ｙ－ｘｍ）能被ｎ整除），ｙ就是用ｍ、ｎ密鑰加密后的密文．
?解密過(guò)程為，求
?ｚ＝ｙｒ（ｍｏｄｎ）（0≤ｚ＜ｎ），
?在限定的條件（0≤ｙ＜ｎ，0≤ｚ＜ｎ）下有（可嚴(yán)格證明）
δ＝ｘ，
即得出明文．
?外人要想破譯密碼，就必須由ｍ、ｎ求出數(shù)ｒ來(lái)．
?由此可見，要找到ｒ必須由ｎ得出ｐ和ｑ，即對(duì)ｎ進(jìn)行因數(shù)分解，如ｐ、ｑ取得相當(dāng)大，即ｎ相當(dāng)大，由于分解困難，無(wú)法破譯這一密碼．
由于運(yùn)用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)已可分解100位左右數(shù)的因數(shù)，因此ｎ要取得相當(dāng)大，從而ｐ、ｑ也要取得相當(dāng)大，比如每個(gè)數(shù)80位以上，再求積，這在技術(shù)上是可能的．
?是否還應(yīng)考慮相應(yīng)計(jì)算的復(fù)雜性和計(jì)算所需要的時(shí)間呢？當(dāng)然有這方面的問(wèn)題，現(xiàn)在通常用復(fù)合編碼法解決，即用其他計(jì)算比較簡(jiǎn)單、耗時(shí)少的編碼方法編碼，而每次編碼所采用的密鑰用ＲＳＡ密碼來(lái)傳遞，這既加強(qiáng)了安全性，又加快了速度．